Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  faclimlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faclimlem3 31336
Description: Lemma for faclim 31337. Algebraic manipulation for the final induction. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
faclimlem3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))

Proof of Theorem faclimlem3
StepHypRef Expression
1 1rp 11780 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
3 nnrp 11786 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
43rpreccld 11826 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
54adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ+)
62, 5rpaddcld 11831 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
76rpcnd 11818 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℂ)
8 simpl 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
97, 8expp1d 12949 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
1110, 4rpaddcld 11831 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
12 nn0z 11344 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
13 rpexpcl 12819 . . . . . . . 8 (((1 + (1 / 𝐵)) ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13syl2anr 495 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℝ+)
1514rpcnd 11818 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) ∈ ℂ)
16 1cnd 10000 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
17 nn0nndivcl 11306 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℝ)
1817recnd 10012 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝐵) ∈ ℂ)
1916, 18addcomd 10182 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) = ((𝑀 / 𝐵) + 1))
20 nn0ge0div 11390 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 / 𝐵))
2117, 20ge0p1rpd 11846 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
2219, 21eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rpcnd 11818 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ∈ ℂ)
2422rpne0d 11821 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + (𝑀 / 𝐵)) ≠ 0)
2515, 23, 24divcan1d 10746 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) = ((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀))
2625oveq1d 6619 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) · (1 + (1 / 𝐵))))
2714, 22rpdivcld 11833 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
2827rpcnd 11818 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) ∈ ℂ)
2928, 23, 7mulassd 10007 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (1 + (1 / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
309, 26, 293eqtr2d 2661 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))))
3130oveq1d 6619 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))))
3222, 6rpmulcld 11832 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℝ+)
3332rpcnd 11818 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) ∈ ℂ)
34 nn0p1nn 11276 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3534nnrpd 11814 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
3635adantr 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ+)
373adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3836, 37rpdivcld 11833 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
392, 38rpaddcld 11831 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℝ+)
4039rpcnd 11818 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ∈ ℂ)
4139rpne0d 11821 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)) ≠ 0)
4228, 33, 40, 41divassd 10780 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · ((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵)))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
4331, 42eqtrd 2655 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (((1 + (1 / 𝐵))↑(𝑀 + 1)) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵))) = ((((1 + (1 / 𝐵))↑𝑀) / (1 + (𝑀 / 𝐵))) · (((1 + (𝑀 / 𝐵)) · (1 + (1 / 𝐵))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝐵)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   / cdiv 10628  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  +crp 11776  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  faclim  31337
  Copyright terms: Public domain W3C validator