MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facndiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facndiv 13240
Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facndiv (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem facndiv
StepHypRef Expression
1 nnre 11190 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 recnz 11615 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
31, 2sylan 489 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2ant2lr 801 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
5 facdiv 13239 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
653expa 1111 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 11644 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
87adantrl 754 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
9 zsubcl 11582 . . . . 5 (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ)
109ex 449 . . . 4 ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
118, 10syl5com 31 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
12 faccl 13235 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1312nncnd 11199 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
14 peano2cn 10371 . . . . . . . 8 ((!‘𝑀) ∈ ℂ → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1615ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1713ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
18 nncn 11191 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19 nnne0 11216 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2018, 19jca 555 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
2120ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
22 divsubdir 10884 . . . . . 6 ((((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
2316, 17, 21, 22syl3anc 1463 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
24 ax-1cn 10157 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
25 pncan2 10451 . . . . . . . 8 (((!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
2613, 24, 25sylancl 697 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
2726oveq1d 6816 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
2827ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
2923, 28eqtr3d 2784 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
3029eleq1d 2812 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ ↔ (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
3111, 30sylibd 229 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
324, 31mtod 189 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429   / cdiv 10847  cn 11183  0cn0 11455  cz 11540  !cfa 13225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-seq 12967  df-fac 13226
This theorem is referenced by:  infpnlem1  15787
  Copyright terms: Public domain W3C validator