MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facp1 12882
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 11141 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 peano2nn 10879 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3 facnn 12879 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
5 ovex 6555 . . . . . . 7 (𝑁 + 1) ∈ V
6 fvi 6150 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ V → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1)
87oveq2i 6538 . . . . 5 ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1))
9 seqp1 12633 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
10 nnuz 11555 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
119, 10eleq2s 2705 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
12 facnn 12879 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
1312oveq1d 6542 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
148, 11, 133eqtr4a 2669 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
154, 14eqtrd 2643 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16 0p1e1 10979 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1716fveq2i 6091 . . . . 5 (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
18 fac1 12881 . . . . 5 (!‘1) = 1
1917, 18eqtri 2631 . . . 4 (!‘(0 + 1)) = 1
20 oveq1 6534 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
2120fveq2d 6092 . . . 4 (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
22 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
2322, 20oveq12d 6545 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
24 fac0 12880 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
2524, 16oveq12i 6539 . . . . . 6 ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
26 1t1e1 11022 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
2725, 26eqtri 2631 . . . . 5 ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
2823, 27syl6eq 2659 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
2919, 21, 283eqtr4a 2669 . . 3 (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
3015, 29jaoi 392 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
311, 30sylbi 205 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172   I cid 4938  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cn 10867  0cn0 11139  cuz 11519  seqcseq 12618  !cfa 12877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-seq 12619  df-fac 12878
This theorem is referenced by:  fac2  12883  fac3  12884  fac4  12885  facnn2  12886  faccl  12887  facdiv  12891  facwordi  12893  faclbnd  12894  faclbnd6  12903  facubnd  12904  bcm1k  12919  bcp1n  12920  4bc2eq6  12933  efcllem  14593  ef01bndlem  14699  eirrlem  14717  dvdsfac  14832  prmfac1  15215  pcfac  15387  2expltfac  15583  aaliou3lem2  23819  aaliou3lem8  23821  dvtaylp  23845  advlogexp  24118  facgam  24509  bcmono  24719  ex-fac  26466  subfacval2  30229  subfaclim  30230  faclim  30691  faclim2  30693  bccp1k  37358  binomcxplemwb  37365  wallispi2lem2  38762  stirlinglem4  38767  etransclem24  38948  etransclem28  38952  etransclem38  38962
  Copyright terms: Public domain W3C validator