MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facp1 13105
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem facp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 11332 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 peano2nn 11070 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3 facnn 13102 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)))
5 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑁 + 1) ∈ V
6 fvi 6294 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ V → ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ( I ‘(𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1)
87oveq2i 6701 . . . . 5 ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1))
9 seqp1 12856 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
10 nnuz 11761 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
119, 10eleq2s 2748 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · ( I ‘(𝑁 + 1))))
12 facnn 13102 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
1312oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((seq1( · , I )‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
148, 11, 133eqtr4a 2711 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , I )‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
154, 14eqtrd 2685 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
16 0p1e1 11170 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1716fveq2i 6232 . . . . 5 (!‘(0 + 1)) = (!‘1)
18 fac1 13104 . . . . 5 (!‘1) = 1
1917, 18eqtri 2673 . . . 4 (!‘(0 + 1)) = 1
20 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
2120fveq2d 6233 . . . 4 (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = (!‘(0 + 1)))
22 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
2322, 20oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((!‘0) · (0 + 1)))
24 fac0 13103 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
2524, 16oveq12i 6702 . . . . . 6 ((!‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
26 1t1e1 11213 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
2725, 26eqtri 2673 . . . . 5 ((!‘0) · (0 + 1)) = 1
2823, 27syl6eq 2701 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = 1)
2919, 21, 283eqtr4a 2711 . . 3 (𝑁 = 0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
3015, 29jaoi 393 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
311, 30sylbi 207 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231   I cid 5052  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cn 11058  0cn0 11330  cuz 11725  seqcseq 12841  !cfa 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-fac 13101
This theorem is referenced by:  fac2  13106  fac3  13107  fac4  13108  facnn2  13109  faccl  13110  facdiv  13114  facwordi  13116  faclbnd  13117  faclbnd6  13126  facubnd  13127  bcm1k  13142  bcp1n  13143  4bc2eq6  13156  efcllem  14852  ef01bndlem  14958  eirrlem  14976  dvdsfac  15095  prmfac1  15478  pcfac  15650  2expltfac  15846  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem8  24145  dvtaylp  24169  advlogexp  24446  facgam  24837  bcmono  25047  ex-fac  27438  subfacval2  31295  subfaclim  31296  faclim  31758  faclim2  31760  bccp1k  38857  binomcxplemwb  38864  wallispi2lem2  40607  stirlinglem4  40612  etransclem24  40793  etransclem28  40797  etransclem38  40807
  Copyright terms: Public domain W3C validator