Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfaccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfaccllem 14689
 Description: Lemma for falling factorial closure laws. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
risefallfaccllem.1 𝑆 ⊆ ℂ
risefallfaccllem.2 1 ∈ 𝑆
risefallfaccllem.3 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fallfaccllem.4 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
fallfaccllem ((𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem fallfaccllem
StepHypRef Expression
1 risefallfaccllem.1 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
21sseli 3584 . . 3 (𝐴𝑆𝐴 ∈ ℂ)
3 fallfacval 14684 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
42, 3sylan 488 . 2 ((𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
51a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑆𝑆 ⊆ ℂ)
6 risefallfaccllem.3 . . . . 5 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
76adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝑆 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
8 fzfid 12728 . . . 4 (𝐴𝑆 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
9 elfznn0 12390 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 fallfaccllem.4 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ 𝑆)
119, 10sylan2 491 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ 𝑆)
12 risefallfaccllem.2 . . . . 5 1 ∈ 𝑆
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑆 → 1 ∈ 𝑆)
145, 7, 8, 11, 13fprodcllem 14625 . . 3 (𝐴𝑆 → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ 𝑆)
1514adantr 481 . 2 ((𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ 𝑆)
164, 15eqeltrd 2698 1 ((𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 𝑁) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3560  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   − cmin 10226  ℕ0cn0 11252  ...cfz 12284  ∏cprod 14579   FallFac cfallfac 14679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-prod 14580  df-fallfac 14682 This theorem is referenced by:  fallfaccl  14691  refallfaccl  14693  zfallfaccl  14696
 Copyright terms: Public domain W3C validator