MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval4 14694
Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))

Proof of Theorem fallfacval4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12709 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) ∈ Fin)
2 elfzelz 12281 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
32zcnd 11427 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
43adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51, 4fprodcl 14602 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘 ∈ ℂ)
6 fzfid 12709 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...(𝐴𝑁)) ∈ Fin)
7 elfznn 12309 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
98nncnd 10981 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℂ)
106, 9fprodcl 14602 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ∈ ℂ)
118nnne0d 11010 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ≠ 0)
126, 9, 11fprodn0 14629 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ≠ 0)
135, 10, 12divcan3d 10751 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
14 fznn0sub 12312 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0red 11297 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
1615ltp1d 10899 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1))
17 fzdisj 12307 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
19 nn0p1nn 11277 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2014, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21 nnuz 11667 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21syl6eleq 2714 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1))
2314nn0zd 11424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
24 elfzel2 12279 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
25 elfzle1 12283 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
2624zred 11426 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 elfzelz 12281 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
2827zred 11426 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
2926, 28subge02d 10564 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3025, 29mpbid 222 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ 𝐴)
31 eluz2 11637 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)) ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3223, 24, 30, 31syl3anbrc 1244 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)))
33 fzsplit2 12305 . . . . . 6 ((((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁))) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
3422, 32, 33syl2anc 692 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
35 fzfid 12709 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) ∈ Fin)
36 elfznn 12309 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
3736nncnd 10981 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
3837adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3918, 34, 35, 38fprodsplit 14616 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘))
4039oveq1d 6620 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
4124zcnd 11427 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
4227zcnd 11427 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
43 1cnd 10001 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4441, 42, 43subsubd 10365 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) = ((𝐴𝑁) + 1))
4544oveq1d 6620 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴) = (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴))
4645prodeq1d 14571 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
4713, 40, 463eqtr4rd 2671 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
48 fallfacval3 14663 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
49 elfz3nn0 12372 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
50 fprodfac 14623 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
5149, 50syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
52 fprodfac 14623 . . . 4 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5314, 52syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5451, 53oveq12d 6623 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
5547, 48, 543eqtr4d 2670 1 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cun 3558  cin 3559  c0 3896   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  !cfa 12997  cprod 14555   FallFac cfallfac 14655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-prod 14556  df-fallfac 14658
This theorem is referenced by:  bcfallfac  14695  fallfacfac  14696
  Copyright terms: Public domain W3C validator