Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftf1 40672
Description: If a function is 1-1, then also the shifted function is 1-1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftf1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf1
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6058 . . 3 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸)
2 fargshift.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
32fargshiftf 40671 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
41, 3sylan2 491 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
5 ffn 6002 . . . . 5 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
6 fseq1hash 13105 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (#‘𝐹) = 𝑁)
75, 6sylan2 491 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (#‘𝐹) = 𝑁)
81, 7sylan2 491 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → (#‘𝐹) = 𝑁)
9 eleq1 2686 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 𝑁 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
10 oveq2 6612 . . . . . 6 ((#‘𝐹) = 𝑁 → (1...(#‘𝐹)) = (1...𝑁))
11 f1eq2 6054 . . . . . 6 ((1...(#‘𝐹)) = (1...𝑁) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 𝑁 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸))
139, 12anbi12d 746 . . . 4 ((#‘𝐹) = 𝑁 → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸)))
14 dff13 6466 . . . . . 6 (𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)))
15 fz0add1fz1 12478 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))
16 fz0add1fz1 12478 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))
1715, 16anim12dan 881 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))))
18 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
1918eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙)))
20 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (𝑘 = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = 𝑙))
2119, 20imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙)))
22 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (𝐹𝑙) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
2322eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
24 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 + 1) = 𝑙 ↔ (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)))
2523, 24imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = (𝑧 + 1) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹𝑙) → (𝑦 + 1) = 𝑙) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2621, 25rspc2v 3306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))))
282fargshiftfv 40670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
2928expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3029com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))))
3231impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1))))
3332impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) → (𝐺𝑦) = (𝐹‘(𝑦 + 1)))
342fargshiftfv 40670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3534expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3635com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
3837impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3938impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) → (𝐺𝑧) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
4033, 39eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1))))
43 elfzoelz 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4443zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
47 elfzoelz 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℤ)
4847zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑧 ∈ ℂ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
51 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → 1 ∈ ℂ)
5246, 50, 513jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
55 addcan2 10165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → ((𝑦 + 1) = (𝑧 + 1) ↔ 𝑦 = 𝑧))
5756imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) ↔ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧)))
5857biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → 𝑦 = 𝑧))
5942, 58sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) ∧ ((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
6059ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (((𝐹‘(𝑦 + 1)) = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 + 1) = (𝑧 + 1)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6127, 60syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))))) ∧ ((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)))) → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6261exp31 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6362com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))))
6463imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6564com13 88 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → (((𝑦 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹)) ∧ (𝑧 + 1) ∈ (1...(#‘𝐹))) → ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6617, 65mpd 15 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6766expcom 451 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6867com13 88 . . . . . . 7 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
6968ralrimdvv 2967 . . . . . 6 ((𝐹:(1...(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(#‘𝐹))∀𝑙 ∈ (1...(#‘𝐹))((𝐹𝑘) = (𝐹𝑙) → 𝑘 = 𝑙)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7014, 69sylbi 207 . . . . 5 (𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
7170impcom 446 . . . 4 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7213, 71syl6bir 244 . . 3 ((#‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
738, 72mpcom 38 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
74 dff13 6466 . 2 (𝐺:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐺:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ∀𝑦 ∈ (0..^(#‘𝐹))∀𝑧 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
754, 73, 74sylanbrc 697 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)–1-1→dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cmpt 4673  dom cdm 5074   Fn wfn 5842  wf 5843  1-1wf1 5844  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  0cn0 11236  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator