Theorem fargshiftfv 43598

Description: If a class is a function, then the values of the "shifted function" correspond to the function values of the class. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fargshift.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
fargshiftfv	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6513	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → 𝐹 Fn (1...𝑁))
2		fseq1hash 13736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
3		oveq2 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
4	3	eqcoms 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
5	4	eleq2d 2898	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
6	5	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
8	1, 7	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
9	8	imp 409	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10		fvex 6682	. . 3 ⊢ (𝐹‘(𝑋 + 1)) ∈ V
11		fvoveq1 7178	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
12		fargshift.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
13	11, 12	fvmptg 6765	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐹‘(𝑋 + 1)) ∈ V) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
14	9, 10, 13	sylancl 588	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
15	14	ex 415	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ↦ cmpt 5145  dom cdm 5554   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539  ℕ₀cn0 11896  ...cfz 12891  ..^cfzo 13032  ♯chash 13689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-hash 13690

This theorem is referenced by:  fargshiftf1  43600  fargshiftfva  43602