MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbfinnfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbfinnfr 21692
Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbfinnfr ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbfinnfr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐹𝑦𝐹))
21anbi2d 740 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹)))
32imbi1d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)))
4 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → (𝑥𝐹𝑆𝐹))
54anbi2d 740 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹)))
65imbi1d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝑆 → (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)))
7 ibar 524 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑥𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹)))
87adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑥𝐹 ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹)))
98imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))))
10 bi2.04 375 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)))
119, 10syl6rbbr 279 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ (𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))))
1211albidv 1889 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))))
13 df-ral 2946 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐹 → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)))
1412, 13syl6bbr 278 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅)))
15 0nelfb 21682 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
16 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐹 ↔ ∅ ∈ 𝐹))
1716notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑦𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹))
1815, 17syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦 = ∅ → ¬ 𝑦𝐹))
1918necon2ad 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝑦𝐹𝑦 ≠ ∅))
2019imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦 ≠ ∅)
21 ssn0 4009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 𝐹𝑦 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)
2221ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝐹 → (𝑦 ≠ ∅ → 𝐹 ≠ ∅))
2320, 22syl5com 31 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 𝐹 𝐹 ≠ ∅))
2423a1dd 50 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 𝐹 → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)))
25 ssint 4525 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝐹 ↔ ∀𝑧𝐹 𝑦𝑧)
2625notbii 309 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑧𝐹 𝑦𝑧)
27 rexnal 3024 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝐹 ¬ 𝑦𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐹 𝑦𝑧)
2826, 27bitr4i 267 . . . . . . . . . 10 𝑦 𝐹 ↔ ∃𝑧𝐹 ¬ 𝑦𝑧)
29 fbasssin 21687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹𝑧𝐹) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦𝑧))
30 nssinpss 3889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑧 ↔ (𝑦𝑧) ⊊ 𝑦)
31 sspsstr 3745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) ∧ (𝑦𝑧) ⊊ 𝑦) → 𝑥𝑦)
3230, 31sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦𝑧) → 𝑥𝑦)
3332expcom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑧 → (𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) → 𝑥𝑦))
3433reximdv 3045 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑧 → (∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
3529, 34syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹𝑧𝐹) → (¬ 𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
36353expia 1286 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑧𝐹 → (¬ 𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦)))
3736rexlimdv 3059 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∃𝑧𝐹 ¬ 𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
3828, 37syl5bi 232 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (¬ 𝑦 𝐹 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦))
39 r19.29 3101 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦) → ∃𝑥𝐹 ((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅))
4140imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐹 ≠ ∅)
4241rexlimivw 3058 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐹 ((𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐹 ≠ ∅)
4339, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑦) → 𝐹 ≠ ∅)
4443expcom 450 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐹 𝑥𝑦 → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅))
4538, 44syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (¬ 𝑦 𝐹 → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅)))
4624, 45pm2.61d 170 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥𝐹 (𝑥𝑦 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 ≠ ∅))
4714, 46sylbid 230 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) → 𝐹 ≠ ∅))
4847com12 32 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐹 ≠ ∅))
4948a1i 11 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑦 → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑥𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)) → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐹 ≠ ∅)))
503, 6, 49findcard3 8244 . . 3 (𝑆 ∈ Fin → ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹) → 𝐹 ≠ ∅))
5150com12 32 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹) → (𝑆 ∈ Fin → 𝐹 ≠ ∅))
52513impia 1280 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  wpss 3608  c0 3948   cint 4507  cfv 5926  Fincfn 7997  fBascfbas 19782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fbas 19791
This theorem is referenced by:  filfinnfr  21728
  Copyright terms: Public domain W3C validator