Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbssfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbssfi 21834
 Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbssfi ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋

Proof of Theorem fbssfi
Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffi2 8486 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘𝐹) = {𝑧 ∣ (𝐹𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧)})
2 inss1 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢𝑣) ⊆ 𝑢
3 simp1r 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹)
43elpwid 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → 𝑢 𝐹)
52, 4syl5ss 3747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → (𝑢𝑣) ⊆ 𝐹)
6 vex 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑢 ∈ V
76inex1 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢𝑣) ∈ V
87elpw 4300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢𝑣) ∈ 𝒫 𝐹 ↔ (𝑢𝑣) ⊆ 𝐹)
95, 8sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → (𝑢𝑣) ∈ 𝒫 𝐹)
10 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
11 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝐹𝑦𝑢) → 𝑦𝐹)
12 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐹𝑧𝑣) → 𝑧𝐹)
13 fbasssin 21833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹𝑧𝐹) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦𝑧))
1410, 11, 12, 13syl3an 1163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦𝑧))
15 ss2in 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝑢𝑧𝑣) → (𝑦𝑧) ⊆ (𝑢𝑣))
1615ad2ant2l 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → (𝑦𝑧) ⊆ (𝑢𝑣))
17163adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → (𝑦𝑧) ⊆ (𝑢𝑣))
18 sstr 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) ∧ (𝑦𝑧) ⊆ (𝑢𝑣)) → 𝑥 ⊆ (𝑢𝑣))
1918expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝑧) ⊆ (𝑢𝑣) → (𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) → 𝑥 ⊆ (𝑢𝑣)))
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → (𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) → 𝑥 ⊆ (𝑢𝑣)))
2120reximdv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → (∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑦𝑧) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑢𝑣)))
2214, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑢𝑣))
23 sseq2 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = (𝑢𝑣) → (𝑥𝑡𝑥 ⊆ (𝑢𝑣)))
2423rexbidv 3182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = (𝑢𝑣) → (∃𝑥𝐹 𝑥𝑡 ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑢𝑣)))
2524elrab 3496 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ↔ ((𝑢𝑣) ∈ 𝒫 𝐹 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑢𝑣)))
269, 22, 25sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})
27263expa 1111 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢)) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑣)) → (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})
2827rexlimdvaa 3162 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢)) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑣 → (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
2928ralrimivw 3097 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢)) → ∀𝑣 ∈ 𝒫 𝐹(∃𝑧𝐹 𝑧𝑣 → (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
30 sseq2 3760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑣 → (𝑥𝑡𝑥𝑣))
3130rexbidv 3182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑣 → (∃𝑥𝐹 𝑥𝑡 ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑣))
32 sseq1 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑣𝑧𝑣))
3332cbvrexv 3303 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝐹 𝑥𝑣 ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑣)
3431, 33syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑣 → (∃𝑥𝐹 𝑥𝑡 ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑣))
3534ralrab 3501 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ↔ ∀𝑣 ∈ 𝒫 𝐹(∃𝑧𝐹 𝑧𝑣 → (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
3629, 35sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) ∧ (𝑦𝐹𝑦𝑢)) → ∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})
3736rexlimdvaa 3162 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝒫 𝐹) → (∃𝑦𝐹 𝑦𝑢 → ∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
3837ralrimiva 3096 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐹(∃𝑦𝐹 𝑦𝑢 → ∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
39 sseq2 3760 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑢 → (𝑥𝑡𝑥𝑢))
4039rexbidv 3182 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑢 → (∃𝑥𝐹 𝑥𝑡 ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑢))
41 sseq1 3759 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑢𝑦𝑢))
4241cbvrexv 3303 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐹 𝑥𝑢 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢)
4340, 42syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑢 → (∃𝑥𝐹 𝑥𝑡 ↔ ∃𝑦𝐹 𝑦𝑢))
4443ralrab 3501 . . . . . . . 8 (∀𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ↔ ∀𝑢 ∈ 𝒫 𝐹(∃𝑦𝐹 𝑦𝑢 → ∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
4538, 44sylibr 224 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ∀𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})
46 pwuni 4618 . . . . . . . 8 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐹
47 ssid 3757 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑡
48 sseq1 3759 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥𝑡𝑡𝑡))
4948rspcev 3441 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝐹𝑡𝑡) → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡)
5047, 49mpan2 709 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐹 → ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡)
5150rgen 3052 . . . . . . . 8 𝑡𝐹𝑥𝐹 𝑥𝑡
52 ssrab 3813 . . . . . . . 8 (𝐹 ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐹 ∧ ∀𝑡𝐹𝑥𝐹 𝑥𝑡))
5346, 51, 52mpbir2an 993 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}
5445, 53jctil 561 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐹 ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
55 uniexg 7112 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ∈ V)
56 pwexg 4991 . . . . . . 7 ( 𝐹 ∈ V → 𝒫 𝐹 ∈ V)
57 rabexg 4955 . . . . . . 7 (𝒫 𝐹 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∈ V)
58 sseq2 3760 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} → (𝐹𝑧𝐹 ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
59 eleq2 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} → ((𝑢𝑣) ∈ 𝑧 ↔ (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
6059raleqbi1dv 3277 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} → (∀𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
6160raleqbi1dv 3277 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} → (∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}))
6258, 61anbi12d 749 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} → ((𝐹𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧) ↔ (𝐹 ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})))
6362elabg 3483 . . . . . . 7 ({𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∈ V → ({𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧)} ↔ (𝐹 ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})))
6455, 56, 57, 634syl 19 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ({𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧)} ↔ (𝐹 ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡}∀𝑣 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} (𝑢𝑣) ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})))
6554, 64mpbird 247 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧)})
66 intss1 4636 . . . . 5 ({𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧)} → {𝑧 ∣ (𝐹𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧)} ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})
6765, 66syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → {𝑧 ∣ (𝐹𝑧 ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (𝑢𝑣) ∈ 𝑧)} ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})
681, 67eqsstrd 3772 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (fi‘𝐹) ⊆ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})
6968sselda 3736 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹)) → 𝐴 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡})
70 sseq2 3760 . . . . 5 (𝑡 = 𝐴 → (𝑥𝑡𝑥𝐴))
7170rexbidv 3182 . . . 4 (𝑡 = 𝐴 → (∃𝑥𝐹 𝑥𝑡 ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴))
7271elrab 3496 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐹 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴))
7372simprbi 483 . 2 (𝐴 ∈ {𝑡 ∈ 𝒫 𝐹 ∣ ∃𝑥𝐹 𝑥𝑡} → ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)
7469, 73syl 17 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  {cab 2738  ∀wral 3042  ∃wrex 3043  {crab 3046  Vcvv 3332   ∩ cin 3706   ⊆ wss 3707  𝒫 cpw 4294  ∪ cuni 4580  ∩ cint 4619  ‘cfv 6041  ficfi 8473  fBascfbas 19928 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-fin 8117  df-fi 8474  df-fbas 19937 This theorem is referenced by:  fbssint  21835  fbunfip  21866  fmfnfmlem1  21951  fmfnfmlem4  21954
 Copyright terms: Public domain W3C validator