MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbssint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbssint 22374
Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbssint ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fbssint
StepHypRef Expression
1 fbasne0 22366 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)
2 n0 4307 . . . . . 6 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
31, 2sylib 219 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
4 ssv 3988 . . . . . . . 8 𝑥 ⊆ V
54jctr 525 . . . . . . 7 (𝑥𝐹 → (𝑥𝐹𝑥 ⊆ V))
65eximi 1826 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥𝐹 → ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥 ⊆ V))
7 df-rex 3141 . . . . . 6 (∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V ↔ ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥 ⊆ V))
86, 7sylibr 235 . . . . 5 (∃𝑥 𝑥𝐹 → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V)
93, 8syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V)
10 inteq 4870 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11 int0 4881 . . . . . . 7 ∅ = V
1210, 11syl6eq 2869 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = V)
1312sseq2d 3996 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑥 𝐴𝑥 ⊆ V))
1413rexbidv 3294 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V))
159, 14syl5ibrcom 248 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴))
16153ad2ant1 1125 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴))
17 simpl1 1183 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐵))
18 simpl2 1184 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐹)
19 simpr 485 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
20 simpl3 1185 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
21 elfir 8867 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
2217, 18, 19, 20, 21syl13anc 1364 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
23 fbssfi 22373 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
2417, 22, 23syl2anc 584 . . 3 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
2524ex 413 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴))
2616, 25pm2.61dne 3100 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288   cint 4867  cfv 6348  Fincfn 8497  ficfi 8862  fBascfbas 20461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-fbas 20470
This theorem is referenced by:  fbasfip  22404
  Copyright terms: Public domain W3C validator