MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbssint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbssint 21555
Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbssint ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fbssint
StepHypRef Expression
1 fbasne0 21547 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)
2 n0 3909 . . . . . 6 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
31, 2sylib 208 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
4 ssv 3606 . . . . . . . 8 𝑥 ⊆ V
54jctr 564 . . . . . . 7 (𝑥𝐹 → (𝑥𝐹𝑥 ⊆ V))
65eximi 1759 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥𝐹 → ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥 ⊆ V))
7 df-rex 2913 . . . . . 6 (∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V ↔ ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥 ⊆ V))
86, 7sylibr 224 . . . . 5 (∃𝑥 𝑥𝐹 → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V)
93, 8syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V)
10 inteq 4445 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11 int0 4457 . . . . . . 7 ∅ = V
1210, 11syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = V)
1312sseq2d 3614 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑥 𝐴𝑥 ⊆ V))
1413rexbidv 3045 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥 ⊆ V))
159, 14syl5ibrcom 237 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴))
16153ad2ant1 1080 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴))
17 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝐵))
18 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐹)
19 simpr 477 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
20 simpl3 1064 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
21 elfir 8268 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
2217, 18, 19, 20, 21syl13anc 1325 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
23 fbssfi 21554 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
2417, 22, 23syl2anc 692 . . 3 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
2524ex 450 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴))
2616, 25pm2.61dne 2876 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ∧ 𝐴𝐹𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥𝐹 𝑥 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3556  c0 3893   cint 4442  cfv 5849  Fincfn 7902  ficfi 8263  fBascfbas 19656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-fin 7906  df-fi 8264  df-fbas 19665
This theorem is referenced by:  fbasfip  21585
  Copyright terms: Public domain W3C validator