MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbunfip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbunfip 22405
Description: A helpful lemma for showing that certain sets generate filters. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbunfip ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem fbunfip
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfiun 8882 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
21notbid 319 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ¬ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
3 3ioran 1098 . . . 4 (¬ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ (¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)))
4 df-3an 1081 . . . 4 ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)))
53, 4bitr2i 277 . . 3 (((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ ¬ (∅ ∈ (fi‘𝐹) ∨ ∅ ∈ (fi‘𝐺) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)))
62, 5syl6bbr 290 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
7 nesym 3069 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑥𝑦))
87ralbii 3162 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺) ¬ ∅ = (𝑥𝑦))
9 ralnex 3233 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺) ¬ ∅ = (𝑥𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
108, 9bitri 276 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
1110ralbii 3162 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹) ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
12 ralnex 3233 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹) ¬ ∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
1311, 12bitri 276 . . 3 (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))
14 fbasfip 22404 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹))
15 fbasfip 22404 . . . . 5 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺))
1614, 15anim12i 612 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)))
1716biantrurd 533 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦) ↔ ((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦))))
1813, 17syl5rbb 285 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (((¬ ∅ ∈ (fi‘𝐹) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘𝐺)) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐺)∅ = (𝑥𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
19 ssfii 8871 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (fi‘𝐹))
20 ssralv 4030 . . . . 5 (𝐹 ⊆ (fi‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
22 ssfii 8871 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐺 ⊆ (fi‘𝐺))
23 ssralv 4030 . . . . . 6 (𝐺 ⊆ (fi‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → (∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
2524ralimdv 3175 . . . 4 (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) → (∀𝑥𝐹𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
2621, 25sylan9 508 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
27 ineq1 4178 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦) = (𝑧𝑦))
2827neeq1d 3072 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑦) ≠ ∅))
29 ineq2 4180 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝑤))
3029neeq1d 3072 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝑧𝑤) ≠ ∅))
3128, 30cbvral2vw 3459 . . . 4 (∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅)
32 fbssfi 22373 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (fi‘𝐹)) → ∃𝑧𝐹 𝑧𝑥)
33 fbssfi 22373 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐺)) → ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦)
34 r19.29 3251 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑥) → ∃𝑧𝐹 (∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑧𝑥))
35 r19.29 3251 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → ∃𝑤𝐺 ((𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑤𝑦))
36 ss2in 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝑥𝑤𝑦) → (𝑧𝑤) ⊆ (𝑥𝑦))
37 sseq2 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥𝑦) = ∅ → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧𝑤) ⊆ ∅))
38 ss0 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧𝑤) ⊆ ∅ → (𝑧𝑤) = ∅)
3937, 38syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑦) = ∅ → ((𝑧𝑤) ⊆ (𝑥𝑦) → (𝑧𝑤) = ∅))
4036, 39syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝑥𝑤𝑦) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑧𝑤) = ∅))
4140necon3d 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝑥𝑤𝑦) → ((𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4241ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑥 → (𝑤𝑦 → ((𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅)))
4342com13 88 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑤𝑦 → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅)))
4443imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑤𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4544rexlimivw 3279 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑤𝐺 ((𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑤𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4635, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → (𝑧𝑥 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4746impancom 452 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑧𝑥) → (∃𝑤𝐺 𝑤𝑦 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4847rexlimivw 3279 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐹 (∀𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ 𝑧𝑥) → (∃𝑤𝐺 𝑤𝑦 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
4934, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑥) → (∃𝑤𝐺 𝑤𝑦 → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5049expimpd 454 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5150com12 32 . . . . . . 7 ((∃𝑧𝐹 𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐺 𝑤𝑦) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5232, 33, 51syl2an 595 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (fi‘𝐹)) ∧ (𝐺 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐺))) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5352an4s 656 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) ∧ (𝑥 ∈ (fi‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐺))) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → (𝑥𝑦) ≠ ∅))
5453ralrimdvva 3191 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑧𝐹𝑤𝐺 (𝑧𝑤) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
5531, 54syl5bi 243 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅ → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅))
5626, 55impbid 213 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (∀𝑥 ∈ (fi‘𝐹)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐺)(𝑥𝑦) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
576, 18, 563bitrd 306 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (fBas‘𝑌)) → (¬ ∅ ∈ (fi‘(𝐹𝐺)) ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐺 (𝑥𝑦) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  cfv 6348  ficfi 8862  fBascfbas 20461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-fbas 20470
This theorem is referenced by:  isufil2  22444  ufileu  22455  filufint  22456  fmfnfm  22494  hausflim  22517  flimclslem  22520  fclsfnflim  22563  flimfnfcls  22564
  Copyright terms: Public domain W3C validator