MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclsbas 22046
Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsbas.f 𝐹 = (𝑋filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
fclsbas ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑜   𝑜,𝑠,𝐵   𝑜,𝐹   𝑜,𝐽   𝑜,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐽(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem fclsbas
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclsbas.f . . . 4 𝐹 = (𝑋filGen𝐵)
2 fgcl 21903 . . . . 5 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
32adantl 473 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
41, 3syl5eqel 2843 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5 fclsopn 22039 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))))
64, 5syldan 488 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))))
7 ssfg 21897 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
87ad3antlr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
98, 1syl6sseqr 3793 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → 𝐵𝐹)
10 ssralv 3807 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐹 → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
12 ineq2 3951 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑠 → (𝑜𝑡) = (𝑜𝑠))
1312neeq1d 2991 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑠 → ((𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑜𝑠) ≠ ∅))
1413cbvralv 3310 . . . . . . . 8 (∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)
1511, 14syl6ib 241 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
161eleq2i 2831 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐹𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵))
17 elfg 21896 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
1817ad3antlr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
1916, 18syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (𝑡𝐹 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
2019simplbda 655 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) ∧ 𝑡𝐹) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)
21 r19.29r 3211 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 ∧ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → ∃𝑠𝐵 (𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅))
22 sslin 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑡 → (𝑜𝑠) ⊆ (𝑜𝑡))
23 ssn0 4119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑜𝑠) ⊆ (𝑜𝑡) ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2422, 23sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2524rexlimivw 3167 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑠𝐵 (𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 ∧ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2726ex 449 . . . . . . . . 9 (∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → (𝑜𝑡) ≠ ∅))
2820, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) ∧ 𝑡𝐹) → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → (𝑜𝑡) ≠ ∅))
2928ralrimdva 3107 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
3015, 29impbid 202 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
3130anassrs 683 . . . . 5 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝐴𝑜) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
3231pm5.74da 725 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
3332ralbidva 3123 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
3433pm5.32da 676 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
356, 34bitrd 268 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cin 3714  wss 3715  c0 4058  cfv 6049  (class class class)co 6814  fBascfbas 19956  filGencfg 19957  TopOnctopon 20937  Filcfil 21870   fClus cfcls 21961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-top 20921  df-topon 20938  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-fil 21871  df-fcls 21966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator