Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcnre 39498
Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcnre.1 𝐾 = (topGen‘ran (,))
fcnre.3 𝑇 = 𝐽
sfcnre.5 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
fcnre.6 (𝜑𝐹𝐶)
Assertion
Ref Expression
fcnre (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)

Proof of Theorem fcnre
StepHypRef Expression
1 fcnre.6 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐶)
2 sfcnre.5 . . . . 5 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
31, 2syl6eleq 2740 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cntop1 21092 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 fcnre.3 . . . 4 𝑇 = 𝐽
76toptopon 20770 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
85, 7sylib 208 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
9 fcnre.1 . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
10 retopon 22614 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
119, 10eqeltri 2726 . . 3 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1211a1i 11 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
13 cnf2 21101 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
148, 12, 3, 13syl3anc 1366 1 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030   cuni 4468  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  (,)cioo 12213  topGenctg 16145  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioo 12217  df-topgen 16151  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cn 21079
This theorem is referenced by:  rfcnpre2  39504  cncmpmax  39505  rfcnpre3  39506  rfcnpre4  39507  rfcnnnub  39509  stoweidlem28  40563  stoweidlem29  40564  stoweidlem36  40571  stoweidlem43  40578  stoweidlem44  40579  stoweidlem47  40582  stoweidlem52  40587  stoweidlem57  40592  stoweidlem59  40594  stoweidlem60  40595  stoweidlem61  40596  stoweidlem62  40597  stoweid  40598
  Copyright terms: Public domain W3C validator