Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdc1 33171
Description: Variant of fdc 33170 with no specified base value. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fdc1.1 𝐴 ∈ V
fdc1.2 𝑀 ∈ ℤ
fdc1.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
fdc1.4 𝑁 = (𝑀 + 1)
fdc1.5 (𝑎 = (𝑓𝑀) → (𝜁𝜎))
fdc1.6 (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑𝜓))
fdc1.7 (𝑏 = (𝑓𝑘) → (𝜓𝜒))
fdc1.8 (𝑎 = (𝑓𝑛) → (𝜃𝜏))
fdc1.9 (𝜂 → ∃𝑎𝐴 𝜁)
fdc1.10 (𝜂𝑅 Fr 𝐴)
fdc1.11 ((𝜂𝑎𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑))
fdc1.12 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
Assertion
Ref Expression
fdc1 (𝜂 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝑅,𝑎,𝑏   𝑀,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑍,𝑎,𝑏,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝜑,𝑓,𝑘   𝜓,𝑎   𝜒,𝑎,𝑏,𝑛   𝜃,𝑓,𝑛   𝜏,𝑎,𝑏   𝜂,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝜁,𝑏,𝑓,𝑛   𝜎,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑎,𝑏)   𝜓(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝜒(𝑓,𝑘)   𝜃(𝑘,𝑎,𝑏)   𝜏(𝑓,𝑘,𝑛)   𝜂(𝑘)   𝜁(𝑘,𝑎)   𝜎(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝐴(𝑘)   𝑅(𝑓,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem fdc1
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐𝐴𝑎𝐴))
21anbi2d 739 . . . . 5 (𝑐 = 𝑎 → ((𝜂𝑐𝐴) ↔ (𝜂𝑎𝐴)))
3 sbceq2a 3429 . . . . 5 (𝑐 = 𝑎 → ([𝑐 / 𝑎]𝜁𝜁))
42, 3anbi12d 746 . . . 4 (𝑐 = 𝑎 → (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) ↔ ((𝜂𝑎𝐴) ∧ 𝜁)))
54imbi1d 331 . . 3 (𝑐 = 𝑎 → ((((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)) ↔ (((𝜂𝑎𝐴) ∧ 𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))))
6 fdc1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
7 fdc1.2 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ
8 fdc1.3 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
9 fdc1.4 . . . . . 6 𝑁 = (𝑀 + 1)
10 sbsbc 3421 . . . . . . 7 ([𝑑 / 𝑎]𝜑[𝑑 / 𝑎]𝜑)
11 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑎𝜓
12 fdc1.6 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑𝜓))
1311, 12sbhypf 3239 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([𝑑 / 𝑎]𝜑𝜓))
1410, 13syl5bbr 274 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([𝑑 / 𝑎]𝜑𝜓))
15 fdc1.7 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑓𝑘) → (𝜓𝜒))
16 sbsbc 3421 . . . . . . 7 ([𝑑 / 𝑎]𝜃[𝑑 / 𝑎]𝜃)
17 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑎𝜏
18 fdc1.8 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑓𝑛) → (𝜃𝜏))
1917, 18sbhypf 3239 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑓𝑛) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃𝜏))
2016, 19syl5bbr 274 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑓𝑛) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃𝜏))
21 simprl 793 . . . . . 6 ((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) → 𝑐𝐴)
22 fdc1.10 . . . . . . 7 (𝜂𝑅 Fr 𝐴)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) → 𝑅 Fr 𝐴)
24 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑎(𝜂𝑑𝐴)
25 nfsbc1v 3437 . . . . . . . . . 10 𝑎[𝑑 / 𝑎]𝜃
26 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝐴
27 nfsbc1v 3437 . . . . . . . . . . 11 𝑎[𝑑 / 𝑎]𝜑
2826, 27nfrex 3001 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑
2925, 28nfor 1831 . . . . . . . . 9 𝑎([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑)
3024, 29nfim 1822 . . . . . . . 8 𝑎((𝜂𝑑𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
31 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → (𝑎𝐴𝑑𝐴))
3231anbi2d 739 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → ((𝜂𝑎𝐴) ↔ (𝜂𝑑𝐴)))
33 sbceq1a 3428 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → (𝜃[𝑑 / 𝑎]𝜃))
34 sbceq1a 3428 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑑 → (𝜑[𝑑 / 𝑎]𝜑))
3534rexbidv 3045 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → (∃𝑏𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
3633, 35orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → ((𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑) ↔ ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑)))
3732, 36imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑑 → (((𝜂𝑎𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑)) ↔ ((𝜂𝑑𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))))
38 fdc1.11 . . . . . . . 8 ((𝜂𝑎𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑))
3930, 37, 38chvar 2261 . . . . . . 7 ((𝜂𝑑𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
4039adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) ∧ 𝑑𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
41 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝜂
4241, 27nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑)
43 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝑑𝐴𝑏𝐴)
4442, 43nfan 1825 . . . . . . . . 9 𝑎((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴))
45 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑏𝑅𝑑
4644, 45nfim 1822 . . . . . . . 8 𝑎(((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)
4734anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → ((𝜂𝜑) ↔ (𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑)))
4831anbi1d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) ↔ (𝑑𝐴𝑏𝐴)))
4947, 48anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ↔ ((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴))))
50 breq2 4617 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → (𝑏𝑅𝑎𝑏𝑅𝑑))
5149, 50imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑑 → ((((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎) ↔ (((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)))
52 fdc1.12 . . . . . . . 8 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
5346, 51, 52chvar 2261 . . . . . . 7 (((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)
5453adantllr 754 . . . . . 6 ((((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)
556, 7, 8, 9, 14, 15, 20, 21, 23, 40, 54fdc 33170 . . . . 5 ((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
5655anassrs 679 . . . 4 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
57 idd 24 . . . . . . 7 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
58 fvex 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑀) ∈ V
59 fdc1.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑓𝑀) → (𝜁𝜎))
6058, 59sbcie 3452 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜁𝜎)
61 dfsbcq 3419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑀) = 𝑐 → ([(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜁[𝑐 / 𝑎]𝜁))
6260, 61syl5rbbr 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑀) = 𝑐 → ([𝑐 / 𝑎]𝜁𝜎))
6362biimpcd 239 . . . . . . . . 9 ([𝑐 / 𝑎]𝜁 → ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜎))
6463adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜎))
6564anim1d 587 . . . . . . 7 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) → (𝜎𝜏)))
66 idd 24 . . . . . . 7 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 → ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
6757, 65, 663anim123d 1403 . . . . . 6 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
6867eximdv 1843 . . . . 5 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
6968reximdv 3010 . . . 4 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
7056, 69mpd 15 . . 3 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
715, 70chvarv 2262 . 2 (((𝜂𝑎𝐴) ∧ 𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
72 fdc1.9 . 2 (𝜂 → ∃𝑎𝐴 𝜁)
7371, 72r19.29a 3071 1 (𝜂 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  [wsb 1877  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  [wsbc 3417   class class class wbr 4613   Fr wfr 5030  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator