Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdivmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdivmpt 41647
Description: The quotient of two functions into the complex numbers as mapping. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fdivmpt ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem fdivmpt
StepHypRef Expression
1 fex 6450 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
213adant2 1078 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
3 fex 6450 . . . 4 ((𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 ∈ V)
433adant1 1077 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 ∈ V)
5 fdivval 41646 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)))
6 offres 7115 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → ((𝐹𝑓 / 𝐺) ↾ (𝐺 supp 0)) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
75, 6eqtrd 2655 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
82, 4, 7syl2anc 692 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))))
9 ffn 6007 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
1093ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
11 suppssdm 7260 . . . . 5 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
12 fdm 6013 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
1312eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐴 = dom 𝐺)
14133ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴 = dom 𝐺)
1511, 14syl5sseqr 3638 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
16 fnssres 5967 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
1710, 15, 16syl2anc 692 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
18 ffn 6007 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
19183ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
20 fnssres 5967 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
2119, 15, 20syl2anc 692 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0)) Fn (𝐺 supp 0))
22 ovex 6638 . . . 4 (𝐺 supp 0) ∈ V
2322a1i 11 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ∈ V)
24 inidm 3805 . . 3 ((𝐺 supp 0) ∩ (𝐺 supp 0)) = (𝐺 supp 0)
25 fvres 6169 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
2625adantl 482 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
27 fvres 6169 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
2827adantl 482 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
2917, 21, 23, 23, 24, 26, 28offval 6864 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐹 ↾ (𝐺 supp 0)) ∘𝑓 / (𝐺 ↾ (𝐺 supp 0))) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
308, 29eqtrd 2655 1 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559  cmpt 4678  dom cdm 5079  cres 5081   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855   supp csupp 7247  cc 9885  0cc0 9887   / cdiv 10635   /f cfdiv 41644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-supp 7248  df-fdiv 41645
This theorem is referenced by:  fdivmptf  41648  refdivmptf  41649  fdivmptfv  41652  refdivmptfv  41653
  Copyright terms: Public domain W3C validator