Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdivmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdivmptf 44529
Description: The quotient of two functions into the complex numbers is a function into the complex numbers. (Contributed by AV, 16-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fdivmptf ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)

Proof of Theorem fdivmptf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1183 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 suppssdm 7832 . . . . . . . 8 (𝐺 supp 0) ⊆ dom 𝐺
3 fdm 6515 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝐴)
42, 3sseqtrid 4016 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
543ad2ant2 1126 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐴)
65sselda 3964 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝑥𝐴)
71, 6ffvelrnd 6844 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
8 simpl2 1184 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
98, 6ffvelrnd 6844 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
10 ffn 6507 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
11103ad2ant2 1126 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
12 simp3 1130 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
13 0cnd 10622 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → 0 ∈ ℂ)
14 elsuppfn 7827 . . . . . 6 ((𝐺 Fn 𝐴𝐴𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
1615simplbda 500 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → (𝐺𝑥) ≠ 0)
177, 9, 16divcld 11404 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 supp 0)) → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
1817fmpttd 6871 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)
19 fdivmpt 44528 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺) = (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))))
2019feq1d 6492 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝐺 supp 0) ↦ ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥))):(𝐺 supp 0)⟶ℂ))
2118, 20mpbird 258 1 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹 /f 𝐺):(𝐺 supp 0)⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  wne 3013  wss 3933  cmpt 5137  dom cdm 5548   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  cc 10523  0cc0 10525   / cdiv 11285   /f cfdiv 44525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-supp 7820  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-fdiv 44526
This theorem is referenced by:  fdivpm  44531
  Copyright terms: Public domain W3C validator