MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfifsupp 8145
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfifsupp (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
2 ffun 5947 . . 3 (𝐹:𝐷𝑅 → Fun 𝐹)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
4 fdmfisuppfi.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
5 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
61, 4, 5fdmfisuppfi 8144 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
7 ffn 5944 . . . . 5 (𝐹:𝐷𝑅𝐹 Fn 𝐷)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
9 fnex 6364 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
108, 4, 9syl2anc 690 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 isfsupp 8139 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
1210, 5, 11syl2anc 690 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
133, 6, 12mpbir2and 958 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785  wf 5786  (class class class)co 6527   supp csupp 7159  Fincfn 7818   finSupp cfsupp 8135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-supp 7160  df-er 7606  df-en 7819  df-fin 7822  df-fsupp 8136
This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8146  fndmfifsupp  8148  gsummptfif1o  18136  psrmulcllem  19154  frlmfibas  19866  elfilspd  19903  tmdgsum  21651  tsmslem1  21684  tsmssubm  21698  tsmsres  21699  tsmsf1o  21700  tsmsmhm  21701  tsmsadd  21702  tsmsxplem1  21708  tsmsxplem2  21709  imasdsf1olem  21929  xrge0gsumle  22376  xrge0tsms  22377  ehlbase  22919  jensenlem2  24431  jensen  24432  amgmlem  24433  amgm  24434  wilthlem2  24512  wilthlem3  24513  gsumle  28916  xrge0tsmsd  28922  esumpfinvalf  29271  k0004ss2  37266  rrxbasefi  38976  sge0tsms  39070  fsuppmptdmf  41951  linccl  41992  lcosn0  41998  islinindfis  42027  snlindsntor  42049  ldepspr  42051  zlmodzxzldeplem2  42079  amgmwlem  42313  amgmlemALT  42314
  Copyright terms: Public domain W3C validator