MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfifsupp 8452
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfifsupp (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
2 ffun 6209 . . 3 (𝐹:𝐷𝑅 → Fun 𝐹)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
4 fdmfisuppfi.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
5 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
61, 4, 5fdmfisuppfi 8451 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
7 ffn 6206 . . . . 5 (𝐹:𝐷𝑅𝐹 Fn 𝐷)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
9 fnex 6646 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
108, 4, 9syl2anc 696 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 isfsupp 8446 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
1210, 5, 11syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
133, 6, 12mpbir2and 995 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  wf 6045  (class class class)co 6814   supp csupp 7464  Fincfn 8123   finSupp cfsupp 8442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-supp 7465  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127  df-fsupp 8443
This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8453  fndmfifsupp  8455  gsummptfif1o  18587  psrmulcllem  19609  frlmfibas  20327  elfilspd  20364  tmdgsum  22120  tsmslem1  22153  tsmssubm  22167  tsmsres  22168  tsmsf1o  22169  tsmsmhm  22170  tsmsadd  22171  tsmsxplem1  22177  tsmsxplem2  22178  imasdsf1olem  22399  xrge0gsumle  22857  xrge0tsms  22858  ehlbase  23414  jensenlem2  24934  jensen  24935  amgmlem  24936  amgm  24937  wilthlem2  25015  wilthlem3  25016  gsumle  30109  xrge0tsmsd  30115  esumpfinvalf  30468  k0004ss2  38970  rrxbasefi  41024  sge0tsms  41118  fsuppmptdmf  42690  linccl  42731  lcosn0  42737  islinindfis  42766  snlindsntor  42788  ldepspr  42790  zlmodzxzldeplem2  42818  amgmwlem  43079  amgmlemALT  43080
  Copyright terms: Public domain W3C validator