MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfifsupp 8831
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfifsupp (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
21ffund 6511 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
3 fdmfisuppfi.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
4 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
51, 3, 4fdmfisuppfi 8830 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
61ffnd 6508 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
7 fnex 6971 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
86, 3, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 isfsupp 8825 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
108, 4, 9syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
112, 5, 10mpbir2and 709 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-supp 7820  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8832  fndmfifsupp  8834  gsumreidx  18966  gsummptfif1o  19017  psrmulcllem  20095  frlmfibas  20834  elfilspd  20875  tmdgsum  22631  tsmslem1  22664  tsmssubm  22678  tsmsres  22679  tsmsf1o  22680  tsmsmhm  22681  tsmsadd  22682  tsmsxplem1  22688  tsmsxplem2  22689  imasdsf1olem  22910  xrge0gsumle  23368  xrge0tsms  23369  rrxbasefi  23940  ehlbase  23945  jensenlem2  25492  jensen  25493  amgmlem  25494  amgm  25495  wilthlem2  25573  wilthlem3  25574  xrge0tsmsd  30619  gsumle  30652  linds2eq  30868  esumpfinvalf  31234  k0004ss2  40380  sge0tsms  42539  fsuppmptdmf  44357  linccl  44397  lcosn0  44403  islinindfis  44432  snlindsntor  44454  ldepspr  44456  zlmodzxzldeplem2  44484  amgmwlem  44831  amgmlemALT  44832
  Copyright terms: Public domain W3C validator