Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvnegge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdvnegge 30808
Description: Functions with a non-positive derivative, i.e. decreasing functions, preserve ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
fdvposlt.a (𝜑𝐴𝐸)
fdvposlt.b (𝜑𝐵𝐸)
fdvposlt.f (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
fdvposlt.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
fdvnegge.le (𝜑𝐴𝐵)
fdvnegge.1 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 0)
Assertion
Ref Expression
fdvnegge (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fdvnegge
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdvposlt.d . . . 4 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
2 fdvposlt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐸)
3 fdvposlt.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
4 fdvposlt.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
54ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
65renegcld 10495 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐸) → -(𝐹𝑦) ∈ ℝ)
7 eqid 2651 . . . . 5 (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))
86, 7fmptd 6425 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)):𝐸⟶ℝ)
9 reelprrecn 10066 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
11 ax-resscn 10031 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
1211, 5sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
13 fvexd 6241 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ V)
144feqmptd 6288 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦)))
1514oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦))))
16 fdvposlt.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
17 cncff 22743 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
1918feqmptd 6288 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑦𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
2015, 19eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
2110, 12, 13, 20dvmptneg 23774 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
2218ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
2322renegcld 10495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐸) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
24 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
2523, 24fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ)
26 ssid 3657 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
27 cncfss 22749 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ))
2811, 26, 27mp2an 708 . . . . . . . . 9 (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ)
2928, 16sseldi 3634 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
3024negfcncf 22769 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ))
32 cncffvrn 22748 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ)) → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ) ↔ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
3311, 31, 32sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ) ↔ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
3425, 33mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ))
3521, 34eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) ∈ (𝐸cn→ℝ))
36 fdvnegge.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
37 fdvnegge.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 0)
3818adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
39 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
411, 2, 3fct2relem 30803 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
4240, 41sstrd 3646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸)
4342sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐸)
4438, 43ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
4544le0neg1d 10637 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
4637, 45mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
4721adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4847fveq1d 6231 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥) = ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥))
4924a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
50 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
5150fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5251negeqd 10313 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5344renegcld 10495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
5449, 52, 43, 53fvmptd 6327 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5548, 54eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5646, 55breqtrrd 4713 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥))
571, 2, 3, 8, 35, 36, 56fdvposle 30807 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) ≤ ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵))
58 eqidd 2652 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))
59 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
6059fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
6160negeqd 10313 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐴))
624, 2ffvelrnd 6400 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
6362renegcld 10495 . . . 4 (𝜑 → -(𝐹𝐴) ∈ ℝ)
6458, 61, 2, 63fvmptd 6327 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
65 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
6665fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
6766negeqd 10313 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐵))
684, 3ffvelrnd 6400 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
6968renegcld 10495 . . . 4 (𝜑 → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
7058, 67, 3, 69fvmptd 6327 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
7157, 64, 703brtr3d 4716 . 2 (𝜑 → -(𝐹𝐴) ≤ -(𝐹𝐵))
7268, 62lenegd 10644 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≤ (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) ≤ -(𝐹𝐵)))
7371, 72mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≤ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  cle 10113  -cneg 10305  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  logdivsqrle  30856
  Copyright terms: Public domain W3C validator