Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdvneggt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdvneggt 31770
Description: Functions with a negative derivative, i.e. monotonously decreasing functions, inverse strict ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fdvposlt.d 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
fdvposlt.a (𝜑𝐴𝐸)
fdvposlt.b (𝜑𝐵𝐸)
fdvposlt.f (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
fdvposlt.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
fdvneggt.lt (𝜑𝐴 < 𝐵)
fdvneggt.1 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < 0)
Assertion
Ref Expression
fdvneggt (𝜑 → (𝐹𝐵) < (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem fdvneggt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdvposlt.d . . . 4 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
2 fdvposlt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐸)
3 fdvposlt.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
4 fdvposlt.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℝ)
54ffvelrnda 6843 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
65renegcld 11055 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐸) → -(𝐹𝑦) ∈ ℝ)
76fmpttd 6871 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)):𝐸⟶ℝ)
8 reelprrecn 10617 . . . . . . 7 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
10 ax-resscn 10582 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
1110, 5sseldi 3962 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
12 fvexd 6678 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ V)
134feqmptd 6726 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦)))
1413oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦))))
15 fdvposlt.c . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ))
16 cncff 23428 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℝ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
1817feqmptd 6726 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑦𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
1914, 18eqtr3d 2855 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
209, 11, 12, 19dvmptneg 24490 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
2117ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐸) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
2221renegcld 11055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐸) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
2322fmpttd 6871 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ)
24 ssid 3986 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
25 cncfss 23434 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ))
2610, 24, 25mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝐸cn→ℝ) ⊆ (𝐸cn→ℂ)
2726, 15sseldi 3962 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
28 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
2928negfcncf 23454 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ))
31 cncffvrn 23433 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℂ)) → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ) ↔ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
3210, 30, 31sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ) ↔ (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)):𝐸⟶ℝ))
3323, 32mpbird 258 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ∈ (𝐸cn→ℝ))
3420, 33eqeltrd 2910 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) ∈ (𝐸cn→ℝ))
35 fdvneggt.lt . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
36 fdvneggt.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < 0)
3717adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℝ)
38 ioossicc 12810 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
401, 2, 3fct2relem 31767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
4139, 40sstrd 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸)
4241sselda 3964 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐸)
4337, 42ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
4443lt0neg1d 11197 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < 0 ↔ 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
4536, 44mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
4620adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
4746fveq1d 6665 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥) = ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥))
4828a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
49 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
5049fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5150negeqd 10868 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑥) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5243renegcld 11055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
5348, 51, 42, 52fvmptd 6767 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝐸 ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑦))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5447, 53eqtrd 2853 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5545, 54breqtrrd 5085 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((ℝ D (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))‘𝑥))
561, 2, 3, 7, 34, 35, 55fdvposlt 31769 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵))
57 eqidd 2819 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦)))
58 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
5958fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
6059negeqd 10868 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐴))
614, 2ffvelrnd 6844 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
6261renegcld 11055 . . . 4 (𝜑 → -(𝐹𝐴) ∈ ℝ)
6357, 60, 2, 62fvmptd 6767 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
64 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
6564fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
6665negeqd 10868 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐵) → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐵))
674, 3ffvelrnd 6844 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
6867renegcld 11055 . . . 4 (𝜑 → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
6957, 66, 3, 68fvmptd 6767 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐸 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
7056, 63, 693brtr3d 5088 . 2 (𝜑 → -(𝐹𝐴) < -(𝐹𝐵))
7167, 61ltnegd 11206 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) < -(𝐹𝐵)))
7270, 71mpbird 258 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) < (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   < clt 10663  -cneg 10859  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  cnccncf 23411   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-symdif 4216  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151  df-0p 24198  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator