Theorem feq123d 6506

Description: Equality deduction for functions. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
feq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
feq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
feq123d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
feq123d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐷))

Proof of Theorem feq123d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		feq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	1, 2	feq12d 6505	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))
4		feq123d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
5	4	feq3d 6504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐷))
6	3, 5	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1536  ⟶wf 6354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-rab 3150  df-v 3499  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-br 5070  df-opab 5132  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362

This theorem is referenced by:  feq123  6507  feq23d  6512  fprg  6920  csbwrdg  13898  funcestrcsetclem8  17400  funcsetcestrclem8  17415  funcsetcestrclem9  17416  evlfcl  17475  yonedalem3a  17527  yonedalem4c  17530  yonedalem3b  17532  yonedainv  17534  iscau  23882  isuhgr  26848  uhgreq12g  26853  isuhgrop  26858  uhgrun  26862  isupgr  26872  upgrop  26882  isumgr  26883  upgrun  26906  umgrun  26908  lfuhgr1v0e  27039  wlkp1  27466  sseqf  31654  ismfs  32800  isrngo  35179  gneispace2  40488  funcringcsetcALTV2lem8  44321  funcringcsetclem8ALTV  44344