MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ffnfv 6354
Description: A function maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
ffnfv (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6012 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 ffvelrn 6323 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
32ralrimiva 2962 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
41, 3jca 554 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
5 simpl 473 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6 fvelrnb 6210 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
76biimpd 219 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
8 nfra1 2937 . . . . . 6 𝑥𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵
9 nfv 1840 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐵
10 rsp 2925 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
11 eleq1 2686 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵))
1211biimpcd 239 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑦𝐵))
1310, 12syl6 35 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑦𝐵)))
148, 9, 13rexlimd 3021 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵 → (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦𝑦𝐵))
157, 14sylan9 688 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵))
1615ssrdv 3594 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹𝐵)
17 df-f 5861 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹𝐵))
185, 16, 17sylanbrc 697 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
194, 18impbii 199 1 (𝐹:𝐴𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  wss 3560  ran crn 5085   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-fv 5865
This theorem is referenced by:  ffnfvf  6355  fnfvrnss  6356  frnssb  6357  fmpt2d  6359  fconstfv  6441  ffnov  6729  seqomlem2  7506  elixpconst  7876  elixpsn  7907  unblem4  8175  ordtypelem4  8386  oismo  8405  cantnfvalf  8522  rankf  8617  alephon  8852  alephf1  8868  alephf1ALT  8886  alephfplem4  8890  cfsmolem  9052  infpssrlem3  9087  axcc4  9221  domtriomlem  9224  axdclem2  9302  pwfseqlem3  9442  gch3  9458  inar1  9557  peano5nni  10983  cnref1o  11787  seqf2  12776  hashkf  13075  iswrdsymb  13277  ccatrn  13327  shftf  13769  sqrtf  14053  isercoll2  14349  eff2  14773  reeff1  14794  1arith  15574  ramcl  15676  xpscf  16166  dmaf  16639  cdaf  16640  coapm  16661  odf  17896  gsumpt  18301  dprdff  18351  dprdfcntz  18354  dprdfadd  18359  dprdlub  18365  mgpf  18499  prdscrngd  18553  isabvd  18760  psrbagcon  19311  subrgmvrf  19402  mplbas2  19410  mvrf2  19432  psgnghm  19866  frlmsslsp  20075  kqf  21490  fmf  21689  tmdgsum2  21840  prdstmdd  21867  prdstgpd  21868  prdsxmslem2  22274  metdsre  22596  evth  22698  evthicc2  23169  ovolfsf  23180  ovolf  23190  vitalilem2  23318  vitalilem5  23321  0plef  23379  mbfi1fseqlem4  23425  xrge0f  23438  itg2addlem  23465  dvfre  23654  dvne0  23712  mdegxrf  23766  mtest  24096  psercn  24118  recosf1o  24219  logcn  24327  amgm  24651  emcllem7  24662  dchrfi  24914  dchr1re  24922  dchrisum0re  25136  padicabvf  25254  vtxdgfisf  26292  wlkres  26470  hlimf  27982  pjrni  28449  pjmf1  28463  bnj149  30706  subfacp1lem3  30925  mrsubrn  31171  msrf  31200  mclsind  31228  neibastop2lem  32050  rrncmslem  33302  cdlemk56  35778  hbtlem7  37215  dgraaf  37237  deg1mhm  37305  elixpconstg  38788  elmapsnd  38905  unirnmap  38909  resincncf  39423  dvnprodlem1  39498  volioof  39541  voliooicof  39550  qndenserrnbllem  39851  subsaliuncllem  39912  fge0iccico  39924  elhoi  40093  ovnsubaddlem1  40121  hoiqssbllem3  40175  ovolval4lem1  40200
  Copyright terms: Public domain W3C validator