MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fgabs 22415
Description: Absorption law for filter generation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgabs ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))

Proof of Theorem fgabs
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
2 fgcl 22414 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3 filfbas 22384 . . . . . . . . 9 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
5 fbsspw 22368 . . . . . . . . . 10 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
7 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑌𝑋)
8 sspwb 5332 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
97, 8sylib 219 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
106, 9sstrd 3974 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋)
11 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
12 fbasweak 22401 . . . . . . . 8 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
134, 10, 11, 12syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
14 elfg 22407 . . . . . . 7 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥)))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥)))
161adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
17 elfg 22407 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹) ↔ (𝑦𝑌 ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑦)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹) ↔ (𝑦𝑌 ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑦)))
19 fbsspw 22368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
2120, 9sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
22 fbasweak 22401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
231, 21, 11, 22syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
24 fgcl 22414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
2625ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
27 ssfg 22408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
3029sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ 𝑧𝐹) → 𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3130adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3231adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹))
33 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑥𝑋)
34 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑧𝑦)
35 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
3634, 35sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑧𝑥)
37 filss 22389 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3826, 32, 33, 36, 37syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3938expr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑦)) → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4039rexlimdvaa 3282 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4140anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4241expimpd 454 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑦𝑌 ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑦) → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4318, 42sylbid 241 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹) → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4443rexlimdv 3280 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4544expimpd 454 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4615, 45sylbid 241 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4746ssrdv 3970 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ⊆ (𝑋filGen𝐹))
48 ssfg 22408 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ (𝑌filGen𝐹))
4948ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ (𝑌filGen𝐹))
50 fgss 22409 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ (𝑌filGen𝐹)) → (𝑋filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
5123, 13, 49, 50syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
5247, 51eqssd 3981 . . 3 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
5352ex 413 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋 ∈ V → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹)))
54 df-fg 20471 . . . . 5 filGen = (𝑤 ∈ V, 𝑥 ∈ (fBas‘𝑤) ↦ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
5554reldmmpo 7274 . . . 4 Rel dom filGen
5655ovprc1 7184 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = ∅)
5755ovprc1 7184 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝑋filGen𝐹) = ∅)
5856, 57eqtr4d 2856 . 2 𝑋 ∈ V → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
5953, 58pm2.61d1 181 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  cfv 6348  (class class class)co 7145  fBascfbas 20461  filGencfg 20462  Filcfil 22381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-fil 22382
This theorem is referenced by:  minveclem4a  23960
  Copyright terms: Public domain W3C validator