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Theorem fgabs 21588
Description: Absorption law for filter generation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgabs ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))

Proof of Theorem fgabs
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
2 fgcl 21587 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3 filfbas 21557 . . . . . . . . 9 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
5 fbsspw 21541 . . . . . . . . . 10 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
7 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑌𝑋)
8 sspwb 4883 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
97, 8sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
106, 9sstrd 3598 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋)
11 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
12 fbasweak 21574 . . . . . . . 8 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
134, 10, 11, 12syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
14 elfg 21580 . . . . . . 7 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥)))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥)))
161adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
17 elfg 21580 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹) ↔ (𝑦𝑌 ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑦)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹) ↔ (𝑦𝑌 ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑦)))
19 fbsspw 21541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
2120, 9sstrd 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
22 fbasweak 21574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
231, 21, 11, 22syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
24 fgcl 21587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
2625ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
27 ssfg 21581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
3029sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ 𝑧𝐹) → 𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3130adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3231adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹))
33 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑥𝑋)
34 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑧𝑦)
35 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑥)
3634, 35sstrd 3598 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑧𝑥)
37 filss 21562 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝑧 ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3826, 32, 33, 36, 37syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ ((𝑧𝐹𝑧𝑦) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))
3938expr 642 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) ∧ (𝑧𝐹𝑧𝑦)) → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4039rexlimdvaa 3030 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌)) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4140anassrs 679 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑦 → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4241expimpd 628 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑦𝑌 ∧ ∃𝑧𝐹 𝑧𝑦) → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4318, 42sylbid 230 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹) → (𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹))))
4443rexlimdv 3028 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4544expimpd 628 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑥𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ (𝑌filGen𝐹)𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4615, 45sylbid 230 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝑋filGen𝐹)))
4746ssrdv 3594 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ⊆ (𝑋filGen𝐹))
48 ssfg 21581 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ (𝑌filGen𝐹))
4948ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ⊆ (𝑌filGen𝐹))
50 fgss 21582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ (𝑌filGen𝐹)) → (𝑋filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
5123, 13, 49, 50syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
5247, 51eqssd 3605 . . 3 (((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
5352ex 450 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋 ∈ V → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹)))
54 df-fg 19658 . . . . 5 filGen = (𝑤 ∈ V, 𝑥 ∈ (fBas‘𝑤) ↦ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
5554reldmmpt2 6725 . . . 4 Rel dom filGen
5655ovprc1 6638 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = ∅)
5755ovprc1 6638 . . 3 𝑋 ∈ V → (𝑋filGen𝐹) = ∅)
5856, 57eqtr4d 2663 . 2 𝑋 ∈ V → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
5953, 58pm2.61d1 171 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3191  cin 3559  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135  cfv 5850  (class class class)co 6605  fBascfbas 19648  filGencfg 19649  Filcfil 21554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-fil 21555
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