Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fge0iccico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fge0iccico 40350
Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fge0iccico.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
fge0iccico (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fge0iccico.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2 ffn 6032 . . . 4 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn 𝑋)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
4 0xr 10071 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 10077 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
8 iccssxr 12241 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
91ffvelrnda 6345 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
108, 9sseldi 3593 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
11 iccgelb 12215 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
125, 7, 9, 11syl3anc 1324 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
1310adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
14 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹𝑥) < +∞)
156a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
1615, 13xrlenltd 10089 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < +∞))
1714, 16mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹𝑥))
1813, 17xrgepnfd 39360 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) = +∞)
1918eqcomd 2626 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
20 ffun 6035 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → Fun 𝐹)
211, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
23 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 fdm 6038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
2524eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
261, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = dom 𝐹)
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
2823, 27eleqtrd 2701 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
29 fvelrn 6338 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
3022, 28, 29syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
3130adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
3219, 31eqeltrd 2699 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
33 fge0iccico.re . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3433ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3532, 34condan 834 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) < +∞)
365, 7, 10, 12, 35elicod 12209 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
3736ralrimiva 2963 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
383, 37jca 554 . 2 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
39 ffnfv 6374 . 2 (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
4038, 39sylibr 224 1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  ran crn 5105  Fun wfun 5870   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  +∞cpnf 10056  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  [,)cico 12162  [,]cicc 12163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-ico 12166  df-icc 12167
This theorem is referenced by:  fge0iccre  40354  sge00  40356  sge0sn  40359  sge0tsms  40360  sge0cl  40361  sge0supre  40369  sge0sup  40371  sge0less  40372  sge0rnbnd  40373  sge0ltfirp  40380  sge0resplit  40386  sge0le  40387  sge0split  40389  sge0iunmptlemre  40395
  Copyright terms: Public domain W3C validator