Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fge0npnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fge0npnf 39921
 Description: If 𝐹 maps to nonnegative reals, then +∞ is not in its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
fge0npnf.1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
fge0npnf (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem fge0npnf
StepHypRef Expression
1 fge0npnf.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2 frn 6020 . . . . 5 (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
43adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ (0[,)+∞))
5 simpr 477 . . 3 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
64, 5sseldd 3589 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ (0[,)+∞))
7 0xr 10046 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 icoub 39198 . . . 4 (0 ∈ ℝ* → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
97, 8ax-mp 5 . . 3 ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞)
109a1i 11 . 2 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ +∞ ∈ (0[,)+∞))
116, 10pm2.65da 599 1 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3560  ran crn 5085  ⟶wf 5853  (class class class)co 6615  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  ℝ*cxr 10033  [,)cico 12135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-ico 12139 This theorem is referenced by:  sge0reval  39926  sge0fsum  39941
 Copyright terms: Public domain W3C validator