HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  fh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fh1 29322
Description: Foulis-Holland Theorem. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. First of two parts. Theorem 5 of [Kalmbach] p. 25. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
fh1 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))

Proof of Theorem fh1
StepHypRef Expression
1 chincl 29203 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵) ∈ C )
2 chincl 29203 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐴𝐶) ∈ C )
3 chjcl 29061 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ (𝐴𝐶) ∈ C ) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C )
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C )
54anandis 674 . . . . . 6 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C )
6 chjcl 29061 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
7 chincl 29203 . . . . . . . 8 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
86, 7sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
9 chsh 28928 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S )
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S )
115, 10jca 512 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ))
12113impb 1107 . . . 4 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ))
1312adantr 481 . . 3 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ))
14 ledi 29244 . . . 4 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
1514adantr 481 . . 3 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
16 incom 4175 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) = ((𝐵 𝐶) ∩ 𝐴)
1716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) = ((𝐵 𝐶) ∩ 𝐴))
18 chdmj1 29233 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ (𝐴𝐶) ∈ C ) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = ((⊥‘(𝐴𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
191, 2, 18syl2an 595 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = ((⊥‘(𝐴𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
20 chdmm1 29229 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘(𝐴𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)))
21 chdmm1 29229 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐶C ) → (⊥‘(𝐴𝐶)) = ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))
2220, 21ineqan12d 4188 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → ((⊥‘(𝐴𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))))
2319, 22eqtrd 2853 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))))
2417, 23ineq12d 4187 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = (((𝐵 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))))
25243impdi 1342 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = (((𝐵 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))))
2625adantr 481 . . . 4 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = (((𝐵 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))))
27 inass 4193 . . . . . . 7 (((𝐵 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))) = ((𝐵 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))))
28 cmcm2 29320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵)))
29 choccl 29010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
30 cmbr3 29312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3129, 30sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3228, 31bitrd 280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐶 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3332biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
34333adantl3 1160 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐴 𝐶 𝐵) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
3534adantrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
36 cmcm2 29320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐴 𝐶 𝐶𝐴 𝐶 (⊥‘𝐶)))
37 choccl 29010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶C → (⊥‘𝐶) ∈ C )
38 cmbr3 29312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴C ∧ (⊥‘𝐶) ∈ C ) → (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐶) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶))))
3937, 38sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐶) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶))))
4036, 39bitrd 280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐴 𝐶 𝐶 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶))))
4140biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴C𝐶C ) ∧ 𝐴 𝐶 𝐶) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶)))
42413adantl2 1159 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐴 𝐶 𝐶) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶)))
4342adantrl 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶)))
4435, 43ineq12d 4187 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶))))
45 inindi 4200 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))))
46 inindi 4200 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))) = ((𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐶)))
4744, 45, 463eqtr4g 2878 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))) = (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))))
4847ineq2d 4186 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → ((𝐵 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶))))) = ((𝐵 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))))
4927, 48syl5eq 2865 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (((𝐵 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))) = ((𝐵 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))))
50 in12 4194 . . . . . 6 ((𝐵 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = (𝐴 ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))))
5149, 50syl6eq 2869 . . . . 5 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (((𝐵 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))) = (𝐴 ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))))
52 chdmj1 29233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝐶C ) → (⊥‘(𝐵 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))
5352ineq2d 4186 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐵 𝐶))) = ((𝐵 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))))
54 chocin 29199 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 𝐶) ∈ C → ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐵 𝐶))) = 0)
556, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐵 𝐶))) = 0)
5653, 55eqtr3d 2855 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝐶C ) → ((𝐵 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶))) = 0)
5756ineq2d 4186 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐴 ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = (𝐴 ∩ 0))
58 chm0 29195 . . . . . . . 8 (𝐴C → (𝐴 ∩ 0) = 0)
5957, 58sylan9eqr 2875 . . . . . . 7 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (𝐴 ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = 0)
60593impb 1107 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (𝐴 ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = 0)
6160adantr 481 . . . . 5 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝐶)))) = 0)
6251, 61eqtrd 2853 . . . 4 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (((𝐵 𝐶) ∩ 𝐴) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐶)))) = 0)
6326, 62eqtrd 2853 . . 3 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = 0)
64 pjoml 29140 . . 3 (((((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ) ∧ (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = 0)) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
6513, 15, 63, 64syl12anc 832 . 2 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
6665eqcomd 2824 1 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145   S csh 28632   C cch 28633  cort 28634   chj 28637  0c0h 28639   𝐶 ccm 28640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789  ax-hcompl 28906
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-lm 21765  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cfil 23785  df-cau 23786  df-cmet 23787  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-dip 28405  df-ssp 28426  df-ph 28517  df-cbn 28567  df-hnorm 28672  df-hba 28673  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-hcau 28677  df-sh 28911  df-ch 28925  df-oc 28956  df-ch0 28957  df-shs 29012  df-chj 29014  df-cm 29287
This theorem is referenced by:  cm2j  29324  fh1i  29325  chirredlem3  30096
  Copyright terms: Public domain W3C validator