Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fib1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fib1 29595
Description: Value of the Fibonacci sequence at index 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fib1 (Fibci‘1) = 1

Proof of Theorem fib1
StepHypRef Expression
1 df-fib 29592 . . 3 Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))
21fveq1i 6089 . 2 (Fibci‘1) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘1)
3 nn0ex 11145 . . . . 5 0 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5 0nn0 11154 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7 1nn0 11155 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
96, 8s2cld 13412 . . . 4 (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10 eqid 2609 . . . 4 (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))
11 fiblem 29593 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13 2nn 11032 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
14 1lt2 11041 . . . . . . 7 1 < 2
15 elfzo0 12331 . . . . . . 7 (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
167, 13, 14, 15mpbir3an 1236 . . . . . 6 1 ∈ (0..^2)
17 s2len 13430 . . . . . . 7 (#‘⟨“01”⟩) = 2
1817oveq2i 6538 . . . . . 6 (0..^(#‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
1916, 18eleqtrri 2686 . . . . 5 1 ∈ (0..^(#‘⟨“01”⟩))
2019a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ (0..^(#‘⟨“01”⟩)))
214, 9, 10, 12, 20sseqfv1 29584 . . 3 (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1))
2221trud 1483 . 2 ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1)
23 s2fv1 13429 . . 3 (1 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘1) = 1)
247, 23ax-mp 5 . 2 (⟨“01”⟩‘1) = 1
252, 22, 243eqtri 2635 1 (Fibci‘1) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  Vcvv 3172  cin 3538   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5027  cima 5031  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cmin 10117  cn 10867  2c2 10917  0cn0 11139  cuz 11519  ..^cfzo 12289  #chash 12934  Word cword 13092  ⟨“cs2 13383  seqstrcsseq 29578  Fibcicfib 29591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-word 13100  df-lsw 13101  df-concat 13102  df-s1 13103  df-s2 13390  df-sseq 29579  df-fib 29592
This theorem is referenced by:  fib2  29597  fib3  29598
  Copyright terms: Public domain W3C validator