Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fib1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fib1 30590
 Description: Value of the Fibonacci sequence at index 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fib1 (Fibci‘1) = 1

Proof of Theorem fib1
StepHypRef Expression
1 df-fib 30587 . . 3 Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))
21fveq1i 6230 . 2 (Fibci‘1) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘1)
3 nn0ex 11336 . . . . 5 0 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5 0nn0 11345 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7 1nn0 11346 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
96, 8s2cld 13662 . . . 4 (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10 eqid 2651 . . . 4 (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))
11 fiblem 30588 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13 2nn 11223 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
14 1lt2 11232 . . . . . . 7 1 < 2
15 elfzo0 12548 . . . . . . 7 (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
167, 13, 14, 15mpbir3an 1263 . . . . . 6 1 ∈ (0..^2)
17 s2len 13680 . . . . . . 7 (#‘⟨“01”⟩) = 2
1817oveq2i 6701 . . . . . 6 (0..^(#‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
1916, 18eleqtrri 2729 . . . . 5 1 ∈ (0..^(#‘⟨“01”⟩))
2019a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ (0..^(#‘⟨“01”⟩)))
214, 9, 10, 12, 20sseqfv1 30579 . . 3 (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1))
2221trud 1533 . 2 ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘1) = (⟨“01”⟩‘1)
23 s2fv1 13679 . . 3 (1 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘1) = 1)
247, 23ax-mp 5 . 2 (⟨“01”⟩‘1) = 1
252, 22, 243eqtri 2677 1 (Fibci‘1) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142   “ cima 5146  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤ≥cuz 11725  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs2 13632  seqstrcsseq 30573  Fibcicfib 30586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-sseq 30574  df-fib 30587 This theorem is referenced by:  fib2  30592  fib3  30593
 Copyright terms: Public domain W3C validator