Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fib6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fib6 31563
Description: Value of the Fibonacci sequence at index 6. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fib6 (Fibci‘6) = 8

Proof of Theorem fib6
StepHypRef Expression
1 5p1e6 11772 . . 3 (5 + 1) = 6
21fveq2i 6666 . 2 (Fibci‘(5 + 1)) = (Fibci‘6)
3 5nn 11711 . . . 4 5 ∈ ℕ
4 fibp1 31558 . . . 4 (5 ∈ ℕ → (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5))
6 5cn 11713 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
7 ax-1cn 10583 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
8 4cn 11710 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
9 4p1e5 11771 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
108, 7, 9addcomli 10820 . . . . . . 7 (1 + 4) = 5
116, 7, 8, 10subaddrii 10963 . . . . . 6 (5 − 1) = 4
1211fveq2i 6666 . . . . 5 (Fibci‘(5 − 1)) = (Fibci‘4)
13 fib4 31561 . . . . 5 (Fibci‘4) = 3
1412, 13eqtri 2841 . . . 4 (Fibci‘(5 − 1)) = 3
15 fib5 31562 . . . 4 (Fibci‘5) = 5
1614, 15oveq12i 7157 . . 3 ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)) = (3 + 5)
17 3cn 11706 . . . 4 3 ∈ ℂ
18 5p3e8 11782 . . . 4 (5 + 3) = 8
196, 17, 18addcomli 10820 . . 3 (3 + 5) = 8
205, 16, 193eqtri 2845 . 2 (Fibci‘(5 + 1)) = 8
212, 20eqtr3i 2843 1 (Fibci‘6) = 8
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528  cmin 10858  cn 11626  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  8c8 11686  Fibcicfib 31553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-word 13850  df-lsw 13903  df-concat 13911  df-s1 13938  df-substr 13991  df-pfx 14021  df-s2 14198  df-sseq 31541  df-fib 31554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator