MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fibas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fibas 20775
Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fibas (fi‘𝐴) ∈ TopBases

Proof of Theorem fibas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6199 . 2 (fi‘𝐴) ∈ V
2 fiin 8325 . . 3 ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
32rgen2a 2976 . 2 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
4 fiinbas 20750 . 2 (((fi‘𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ∈ TopBases)
51, 3, 4mp2an 708 1 (fi‘𝐴) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1989  wral 2911  Vcvv 3198  cin 3571  cfv 5886  ficfi 8313  TopBasesctb 20743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-fin 7956  df-fi 8314  df-bases 20744
This theorem is referenced by:  restbas  20956  ordttopon  20991  ordtopn1  20992  ordtopn2  20993  ordtrest2  21002  leordtval2  21010  2ndcsb  21246  ptbas  21376  xkotop  21385  alexsublem  21842  alexsub  21843  alexsubb  21844  alexsubALTlem3  21847  alexsubALTlem4  21848  alexsubALT  21849  ptcmplem1  21850  ordtrest2NEW  29954  topjoin  32344
  Copyright terms: Public domain W3C validator