Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiblem 30588
Description: Lemma for fib0 30589, fib1 30590 and fibp1 30591. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fiblem (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0

Proof of Theorem fiblem
StepHypRef Expression
1 s2len 13680 . . . . . . 7 (#‘⟨“01”⟩) = 2
21eqcomi 2660 . . . . . 6 2 = (#‘⟨“01”⟩)
32fveq2i 6232 . . . . 5 (ℤ‘2) = (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))
43imaeq2i 5499 . . . 4 (# “ (ℤ‘2)) = (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))
54ineq2i 3844 . . 3 (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) = (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))
6 eqid 2651 . . 3 ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))) = ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))
75, 6mpteq12i 4775 . 2 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))) = (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))
8 elin 3829 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) ↔ (𝑤 ∈ Word ℕ0𝑤 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))))
98simplbi 475 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ Word ℕ0)
10 wrdf 13342 . . . . 5 (𝑤 ∈ Word ℕ0𝑤:(0..^(#‘𝑤))⟶ℕ0)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤:(0..^(#‘𝑤))⟶ℕ0)
128simprbi 479 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 𝑤 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))
13 hashf 13165 . . . . . . . . . 10 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
14 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
15 elpreima 6377 . . . . . . . . . 10 (# Fn V → (𝑤 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))) ↔ (𝑤 ∈ V ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))
1712, 16sylib 208 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤 ∈ V ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))
1817simprd 478 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))
1918, 3syl6eleqr 2741 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ‘2))
20 uznn0sub 11757 . . . . . 6 ((#‘𝑤) ∈ (ℤ‘2) → ((#‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0)
22 1zzd 11446 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 1 ∈ ℤ)
23 1p1e2 11172 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
2423fveq2i 6232 . . . . . . . 8 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
2519, 24syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
26 peano2uzr 11781 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑤) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ‘1))
2722, 25, 26syl2anc 694 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ (ℤ‘1))
28 nnuz 11761 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2927, 28syl6eleqr 2741 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ ℕ)
3029nnred 11073 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (#‘𝑤) ∈ ℝ)
31 2rp 11875 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → 2 ∈ ℝ+)
3330, 32ltsubrpd 11942 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 2) < (#‘𝑤))
34 elfzo0 12548 . . . . 5 (((#‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↔ (((#‘𝑤) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑤) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑤) − 2) < (#‘𝑤)))
3521, 29, 33, 34syl3anbrc 1265 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 2) ∈ (0..^(#‘𝑤)))
3611, 35ffvelrnd 6400 . . 3 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) ∈ ℕ0)
37 fzo0end 12600 . . . . 5 ((#‘𝑤) ∈ ℕ → ((#‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑤)))
3829, 37syl 17 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((#‘𝑤) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑤)))
3911, 38ffvelrnd 6400 . . 3 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)) ∈ ℕ0)
4036, 39nn0addcld 11393 . 2 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) → ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))) ∈ ℕ0)
417, 40fmpti 6423 1 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wcel 2030  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs2 13632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639
This theorem is referenced by:  fib0  30589  fib1  30590  fibp1  30591
  Copyright terms: Public domain W3C validator