MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomndrng 19509
Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
fidomndrng (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Proof of Theorem fidomndrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 19498 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
21adantl 473 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
3 domnnzr 19497 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
43adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ NzRing)
5 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
6 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
75, 6nzrnz 19462 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
84, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
98neneqd 2937 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (1r𝑅) = (0g𝑅))
10 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
1110, 6, 50unit 18880 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → ((0g𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r𝑅) = (0g𝑅)))
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((0g𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r𝑅) = (0g𝑅)))
139, 12mtbird 314 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (0g𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
14 disjsn 4390 . . . . . . 7 (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g𝑅)}) = ∅ ↔ ¬ (0g𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
1513, 14sylibr 224 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((Unit‘𝑅) ∩ {(0g𝑅)}) = ∅)
16 fidomndrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
1716, 10unitss 18860 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵
18 reldisj 4163 . . . . . . 7 ((Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵 → (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
2015, 19sylib 208 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
21 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
22 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑅 ∈ Domn)
24 simpll 807 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝐵 ∈ Fin)
25 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
26 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑥))
2716, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26fidomndrnglem 19508 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅))
28 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2928, 16opprbas 18829 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
3028, 6oppr0 18833 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g‘(oppr𝑅))
3128, 5oppr1 18834 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r‘(oppr𝑅))
32 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
33 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
3428opprdomn 19503 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn → (oppr𝑅) ∈ Domn)
3523, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → (oppr𝑅) ∈ Domn)
36 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
3729, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36fidomndrnglem 19508 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
3810, 5, 21, 28, 32isunit 18857 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
3927, 37, 38sylanbrc 701 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
4039ex 449 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)))
4140ssrdv 3750 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (Unit‘𝑅))
4220, 41eqssd 3761 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
4316, 10, 6isdrng 18953 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
442, 42, 43sylanbrc 701 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ DivRing)
4544ex 449 . 2 (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ DivRing))
46 drngdomn 19505 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
4745, 46impbid1 215 1 (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  0gc0g 16302  1rcur 18701  Ringcrg 18747  opprcoppr 18822  rcdsr 18838  Unitcui 18839  DivRingcdr 18949  NzRingcnzr 19459  Domncdomn 19482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-drng 18951  df-nzr 19460  df-rlreg 19485  df-domn 19486
This theorem is referenced by:  fiidomfld  19510
  Copyright terms: Public domain W3C validator