MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fieq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fieq0 8312
Description: If 𝐴 is not empty, the class of all the finite intersections of 𝐴 is not empty either. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fieq0 (𝐴𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem fieq0
StepHypRef Expression
1 fveq2 6178 . . 3 (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = (fi‘∅))
2 fi0 8311 . . 3 (fi‘∅) = ∅
31, 2syl6eq 2670 . 2 (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = ∅)
4 ssfii 8310 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
5 sseq0 3966 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
64, 5sylan 488 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
76ex 450 . 2 (𝐴𝑉 → ((fi‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
83, 7impbid2 216 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567  c0 3907  cfv 5876  ficfi 8301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-1o 7545  df-en 7941  df-fin 7944  df-fi 8302
This theorem is referenced by:  fsubbas  21652
  Copyright terms: Public domain W3C validator