MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filelss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filelss 22388
Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filelss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)

Proof of Theorem filelss
StepHypRef Expression
1 filfbas 22384 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
2 fbelss 22369 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)
31, 2sylan 580 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  fBascfbas 20461  Filcfil 22381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-fbas 20470  df-fil 22382
This theorem is referenced by:  filin  22390  filtop  22391  filuni  22421  trfil2  22423  trfil3  22424  fgtr  22426  trfg  22427  ufilmax  22443  isufil2  22444  ufileu  22455  filufint  22456  cfinufil  22464  ufilen  22466  rnelfm  22489  fmfnfmlem4  22493  fmid  22496  flimclsi  22514  flimrest  22519  txflf  22542  fclsopn  22550  fclsrest  22560  flimfnfcls  22564  fclscmpi  22565  iscfil2  23796  cfil3i  23799  iscmet3lem2  23822  iscmet3  23823  cfilresi  23825  cfilres  23826  filnetlem3  33625
  Copyright terms: Public domain W3C validator