MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filfbas 21592
Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filfbas (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))

Proof of Theorem filfbas
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfil 21591 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋((𝐹 ∩ 𝒫 𝑥) ≠ ∅ → 𝑥𝐹)))
21simplbi 476 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  cin 3559  c0 3897  𝒫 cpw 4136  cfv 5857  fBascfbas 19674  Filcfil 21589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-fil 21590
This theorem is referenced by:  0nelfil  21593  filsspw  21595  filelss  21596  filin  21598  filtop  21599  snfbas  21610  fgfil  21619  elfilss  21620  filfinnfr  21621  fgabs  21623  filconn  21627  fgtr  21634  trfg  21635  ufilb  21650  ufilmax  21651  isufil2  21652  ssufl  21662  ufileu  21663  filufint  21664  ufilen  21674  fmfg  21693  fmufil  21703  fmid  21704  fmco  21705  ufldom  21706  hausflim  21725  flimrest  21727  flimclslem  21728  flfnei  21735  isflf  21737  flfcnp  21748  fclsrest  21768  fclsfnflim  21771  flimfnfcls  21772  isfcf  21778  cnpfcfi  21784  cnpfcf  21785  cnextcn  21811  cfilufg  22037  neipcfilu  22040  cnextucn  22047  ucnextcn  22048  cfilresi  23033  cfilres  23034  cmetss  23053  relcmpcmet  23055  cfilucfil3  23057  minveclem4a  23141  filnetlem4  32071
  Copyright terms: Public domain W3C validator