Theorem filunibas 22492

Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filunibas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Proof of Theorem filunibas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filsspw 22462	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		sspwuni 5025	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylib 220	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
4		filtop 22466	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
5		unissel 4872	. 2 ⊢ ((∪ 𝐹 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	3, 4, 5	syl2anc 586	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4841  ‘cfv 6358  Filcfil 22456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fv 6366  df-fbas 20545  df-fil 22457

This theorem is referenced by:  filunirn  22493  filconn  22494  uffixfr  22534  uffix2  22535  uffixsn  22536  ufildr  22542  flimtopon  22581  flimss1  22584  flffval  22600  fclsval  22619  isfcls  22620  fclstopon  22623  fclsfnflim  22638  fcfval  22644