MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimacnv 6304
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 5440 . . 3 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
2 dfdm4 5281 . . . 4 dom 𝐹 = ran 𝐹
3 fdm 6010 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 ssid 3608 . . . . 5 𝐴𝐴
53, 4syl6eqss 3639 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹𝐴)
62, 5syl5eqssr 3634 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐴)
71, 6syl5ss 3599 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐴)
8 imassrn 5440 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
9 frn 6012 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
108, 9syl5ss 3599 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
11 ffun 6007 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
124, 3syl5sseqr 3638 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13 funimass3 6290 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
1411, 12, 13syl2anc 692 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
1510, 14mpbid 222 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵))
167, 15eqssd 3605 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wss 3560  ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080  cima 5082  Fun wfun 5844  wf 5846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-fv 5858
This theorem is referenced by:  fimacnvinrn  6305  fmpt  6338  frnsuppeq  7253  fin1a2lem7  9173  cnclima  20977  iscncl  20978  cnindis  21001  cncmp  21100  ptrescn  21347  qtopuni  21410  qtopcld  21421  qtopcmap  21427  ordthmeolem  21509  rnelfmlem  21661  mbfdm  23296  ismbf  23298  mbfimaicc  23301  ismbf2d  23309  ismbf3d  23322  mbfimaopn2  23325  i1fd  23349  plyeq0  23866  fsumcvg4  29770  zrhunitpreima  29796  imambfm  30097  carsggect  30153  dstrvprob  30306  poimirlem30  33038  dvtan  33059  smfresal  40270
  Copyright terms: Public domain W3C validator