MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre 10718
Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre
StepHypRef Expression
1 ltso 9868 . . . 4 < Or ℝ
2 soss 4871 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
31, 2mpi 20 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4 fimaxg 7968 . . 3 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
53, 4syl3an1 1350 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
6 ssel 3466 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
7 ssel 3466 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
86, 7anim12d 583 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
98imp 443 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
10 leloe 9874 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
1110ancoms 467 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
12 equcom 1895 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
1312orbi2i 539 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦))
14 orcom 400 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
15 neor 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
1613, 14, 153bitri 284 . . . . . . . . 9 ((𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥))
1711, 16syl6bb 274 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥)))
1817biimprd 236 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
199, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2019anassrs 677 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥))
2120ralimdva 2849 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2221reximdva 2904 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
23223ad2ant1 1074 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
245, 23mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030  wcel 1938  wne 2684  wral 2800  wrex 2801  wss 3444  c0 3777   class class class wbr 4481   Or wor 4852  Fincfn 7717  cr 9690   < clt 9829  cle 9830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-resscn 9748  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-om 6834  df-1o 7323  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835
This theorem is referenced by:  fimaxre2  10719  fiminre  10722  0ram2  15447  0ramcl  15449  prmgaplem3  15479  ballotlemfc0  29688  ballotlemfcc  29689  filbcmb  32595
  Copyright terms: Public domain W3C validator