MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre2 10818
Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxre2
StepHypRef Expression
1 0re 9896 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 rzal 4024 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0)
3 breq2 4581 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑦𝑥𝑦 ≤ 0))
43ralbidv 2968 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0))
54rspcev 3281 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
61, 2, 5sylancr 693 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
76a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
8 fimaxre 10817 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
983expia 1258 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥))
10 ssrexv 3629 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
1110adantr 479 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
129, 11syld 45 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
137, 12pm2.61dne 2867 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-om 6935  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936
This theorem is referenced by:  fimaxre3  10819  isercolllem2  14190  fsumcvg3  14253  mertenslem2  14402  1arith  15415  ovolicc2lem4  23012  erdszelem8  30240  poimirlem31  32406  poimirlem32  32407  mblfinlem1  32412  itg2addnclem2  32428  ftc1anclem7  32457  ftc1anc  32459  totbndbnd  32554  prdsbnd  32558  uzfissfz  38280  fourierdlem31  38828  fourierdlem79  38875  hoicvr  39235
  Copyright terms: Public domain W3C validator