MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fimaxre3 10821
Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem fimaxre3
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.29 3053 . . . . . 6 ((∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑦𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵))
2 eleq1 2675 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
32biimparc 502 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
43rexlimivw 3010 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
51, 4syl 17 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
65ex 448 . . . 4 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧 ∈ ℝ))
76abssdv 3638 . . 3 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ)
8 abrexfi 8126 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin)
9 fimaxre2 10820 . . 3 (({𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵} ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥)
107, 8, 9syl2anr 493 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥)
11 r19.23v 3004 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ (∃𝑦𝐴 𝑤 = 𝐵𝑤𝑥))
1211albii 1736 . . . . . 6 (∀𝑤𝑦𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤(∃𝑦𝐴 𝑤 = 𝐵𝑤𝑥))
13 ralcom4 3196 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤𝑦𝐴 (𝑤 = 𝐵𝑤𝑥))
14 eqeq1 2613 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐵𝑤 = 𝐵))
1514rexbidv 3033 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑤 = 𝐵))
1615ralab 3333 . . . . . 6 (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤(∃𝑦𝐴 𝑤 = 𝐵𝑤𝑥))
1712, 13, 163bitr4i 290 . . . . 5 (∀𝑦𝐴𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥)
18 nfv 1829 . . . . . . . 8 𝑤 𝐵𝑥
19 breq1 4580 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝑥𝐵𝑥))
2018, 19ceqsalg 3202 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ 𝐵𝑥))
2120ralimi 2935 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑦𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ 𝐵𝑥))
22 ralbi 3049 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 (∀𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ 𝐵𝑥) → (∀𝑦𝐴𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴𝑤(𝑤 = 𝐵𝑤𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2417, 23syl5bbr 272 . . . 4 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2524rexbidv 3033 . . 3 (∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2625adantl 480 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦𝐴 𝑧 = 𝐵}𝑤𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥))
2710, 26mpbid 220 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐴 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝐵𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  wral 2895  wrex 2896  wss 3539   class class class wbr 4577  Fincfn 7818  cr 9791  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936
This theorem is referenced by:  fsequb  12593  fsequb2  12594  caubnd  13894  limsupgre  14008  vdwnnlem3  15487  cnheibor  22509  bndth  22512  ovoliunlem2  23022  dchrisum  24925  ssfiunibd  38247  fourierdlem70  38852  fourierdlem71  38853  fourierdlem80  38862
  Copyright terms: Public domain W3C validator