MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiming Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiming 8348
Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiming ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiming
StepHypRef Expression
1 fimin2g 8347 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2 nesym 2846 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑥)
32imbi1i 339 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ (¬ 𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
4 pm4.64 387 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
53, 4bitri 264 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦))
6 sotric 5021 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑦𝐴𝑥𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦)))
76ancom2s 843 . . . . . . . 8 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦)))
87con2bid 344 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦 = 𝑥𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
95, 8syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
109anassrs 679 . . . . 5 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1110ralbidva 2979 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211rexbidva 3042 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13123ad2ant1 1080 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
141, 13mpbird 247 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  c0 3891   class class class wbr 4613   Or wor 4994  Fincfn 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903
This theorem is referenced by:  fiinfg  8349
  Copyright terms: Public domain W3C validator