Theorem fiming 8964

Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiming	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiming

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimin2g 8963	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2		nesym 3074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑥)
3	2	imbi1i 352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ (¬ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥𝑅𝑦))
4		pm4.64 845	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦))
5	3, 4	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦))
6		sotric 5503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦)))
7	6	ancom2s 648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦)))
8	7	con2bid 357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
9	5, 8	syl5bb 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
10	9	anassrs 470	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
11	10	ralbidva 3198	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	rexbidva 3298	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	12	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	1, 13	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  ∅c0 4293   class class class wbr 5068   Or wor 5475  Fincfn 8511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-om 7583  df-1o 8104  df-er 8291  df-en 8512  df-fin 8515

This theorem is referenced by:  fiinfg  8965  fiminre  11590