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Theorem fiminre 11010
Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 11006. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiminre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ⊆ ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
3 negfi 11009 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ∈ Fin)
433adant3 1101 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ∈ Fin)
5 negn0 10497 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ≠ ∅)
653adant2 1100 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ≠ ∅)
7 fimaxre 11006 . . 3 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛)
82, 4, 6, 7syl3anc 1366 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛)
9 negeq 10311 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑛 → -𝑟 = -𝑛)
109eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑛 → (-𝑟𝐴 ↔ -𝑛𝐴))
1110elrab 3396 . . . . . 6 (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴))
12 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → -𝑛𝐴)
13 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑛 → (𝑥𝑦 ↔ -𝑛𝑦))
1413ralbidv 3015 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝑛 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 -𝑛𝑦))
1514adantl 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) ∧ 𝑥 = -𝑛) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 -𝑛𝑦))
16 ssel 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
17 renegcl 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
1816, 17syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
2019imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
2116adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
22 recn 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
2321, 22syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℂ))
2423imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
2524negnegd 10421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
26 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
2725, 26eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦𝐴)
28 negeq 10311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = -𝑦 → -𝑟 = --𝑦)
2928eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = -𝑦 → (-𝑟𝐴 ↔ --𝑦𝐴))
3029elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ↔ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦𝐴))
3120, 27, 30sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴})
32 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = -𝑦 → (𝑚𝑛 ↔ -𝑦𝑛))
3332rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → -𝑦𝑛))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → -𝑦𝑛))
3521imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 simplll 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
37 lenegcon1 10570 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑦𝑛 ↔ -𝑛𝑦))
3835, 36, 37syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (-𝑦𝑛 ↔ -𝑛𝑦))
3934, 38sylibd 229 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → -𝑛𝑦))
4039impancom 455 . . . . . . . . . 10 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → (𝑦𝐴 → -𝑛𝑦))
4140ralrimiv 2994 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → ∀𝑦𝐴 -𝑛𝑦)
4212, 15, 41rspcedvd 3348 . . . . . . . 8 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4342ex 449 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4443ex 449 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
4511, 44sylbi 207 . . . . 5 (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
4645impcom 445 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4746rexlimdva 3060 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
48473ad2ant1 1102 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
498, 48mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  cle 10113  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
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