MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiminre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiminre 10818
Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 10814. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiminre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3646 . . . 4 {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ⊆ ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
3 negfi 10817 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ∈ Fin)
433adant3 1073 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ∈ Fin)
5 negn0 10307 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ≠ ∅)
653adant2 1072 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ≠ ∅)
7 fimaxre 10814 . . 3 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛)
82, 4, 6, 7syl3anc 1317 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛)
9 negeq 10121 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑛 → -𝑟 = -𝑛)
109eleq1d 2668 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑛 → (-𝑟𝐴 ↔ -𝑛𝐴))
1110elrab 3327 . . . . . 6 (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴))
12 simpllr 794 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → -𝑛𝐴)
13 breq1 4577 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑛 → (𝑥𝑦 ↔ -𝑛𝑦))
1413ralbidv 2965 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝑛 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 -𝑛𝑦))
1514adantl 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) ∧ 𝑥 = -𝑛) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 -𝑛𝑦))
16 ssel 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
17 renegcl 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
1816, 17syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
1918adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
2019imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
2116adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
22 recn 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
2321, 22syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℂ))
2423imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
2524negnegd 10231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
26 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
2725, 26eqeltrd 2684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦𝐴)
28 negeq 10121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = -𝑦 → -𝑟 = --𝑦)
2928eleq1d 2668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = -𝑦 → (-𝑟𝐴 ↔ --𝑦𝐴))
3029elrab 3327 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ↔ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦𝐴))
3120, 27, 30sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴})
32 breq1 4577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = -𝑦 → (𝑚𝑛 ↔ -𝑦𝑛))
3332rspcv 3274 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → -𝑦𝑛))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → -𝑦𝑛))
3521imp 443 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 simplll 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
37 lenegcon1 10378 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑦𝑛 ↔ -𝑛𝑦))
3835, 36, 37syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (-𝑦𝑛 ↔ -𝑛𝑦))
3934, 38sylibd 227 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → -𝑛𝑦))
4039impancom 454 . . . . . . . . . 10 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → (𝑦𝐴 → -𝑛𝑦))
4140ralrimiv 2944 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → ∀𝑦𝐴 -𝑛𝑦)
4212, 15, 41rspcedvd 3285 . . . . . . . 8 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4342ex 448 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4443ex 448 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
4511, 44sylbi 205 . . . . 5 (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
4645impcom 444 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4746rexlimdva 3009 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
48473ad2ant1 1074 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
498, 48mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  wrex 2893  {crab 2896  wss 3536  c0 3870   class class class wbr 4574  Fincfn 7815  cc 9787  cr 9788  cle 9928  -cneg 10115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117
This theorem is referenced by:  prmgaplem4  15539  fiminre2  38336  hoidmvlelem2  39287
  Copyright terms: Public domain W3C validator