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Theorem fin1aufil 21937
Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) 𝑋, the set of infinite subsets of 𝑋 is a free ultrafilter on 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1aufil.1 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
Assertion
Ref Expression
fin1aufil (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem fin1aufil
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1aufil.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
21eleq2i 2831 . . . . . 6 (𝑥𝐹𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
3 eldif 3725 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
4 selpw 4309 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
54anbi1i 733 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
62, 3, 53bitri 286 . . . . 5 (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
76a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)))
8 elex 3352 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ V)
9 eldifn 3876 . . . . 5 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
10 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑋 ∈ Fin))
1110notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
1211sbcieg 3609 . . . . 5 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ([𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
139, 12mpbird 247 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → [𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
14 0fin 8353 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
15 0ex 4942 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
16 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
1716notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin))
1815, 17sbcie 3611 . . . . . . 7 ([∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin)
1918con2bii 346 . . . . . 6 (∅ ∈ Fin ↔ ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
2014, 19mpbi 220 . . . . 5 ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin
2120a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
22 ssfi 8345 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
2322expcom 450 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
24233ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
2524con3d 148 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ Fin → ¬ 𝑦 ∈ Fin))
26 vex 3343 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
27 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑧 ∈ Fin))
2827notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
2926, 28sbcie 3611 . . . . 5 ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin)
30 vex 3343 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
31 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑦 ∈ Fin))
3231notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin))
3330, 32sbcie 3611 . . . . 5 ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin)
3425, 29, 333imtr4g 285 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
35 eldifi 3875 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ FinIa)
36 fin1ai 9307 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ FinIa𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
3735, 36sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
38373adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
39 inundif 4190 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) = 𝑧
40 incom 3948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑦) = (𝑦𝑧)
41 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑦𝑧) ∈ Fin)
4240, 41syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
43 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑋𝑦) ∈ Fin)
44 simpl3 1232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧𝑋)
4544ssdifd 3889 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ⊆ (𝑋𝑦))
46 ssfi 8345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧𝑦) ⊆ (𝑋𝑦)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
4743, 45, 46syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
48 unfi 8392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧𝑦) ∈ Fin) → ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) ∈ Fin)
4942, 47, 48syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) ∈ Fin)
5039, 49syl5eqelr 2844 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
5150expr 644 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦𝑧) ∈ Fin) → ((𝑋𝑦) ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
5251orim2d 921 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦𝑧) ∈ Fin) → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
5352ex 449 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑦𝑧) ∈ Fin → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))))
5438, 53mpid 44 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑦𝑧) ∈ Fin → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
5554con3d 148 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) → ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
5633, 29anbi12i 735 . . . . . 6 (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
57 ioran 512 . . . . . 6 (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
5856, 57bitr4i 267 . . . . 5 (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ ¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))
5930inex1 4951 . . . . . 6 (𝑦𝑧) ∈ V
60 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ Fin ↔ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
6160notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
6259, 61sbcie 3611 . . . . 5 ([(𝑦𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin)
6355, 58, 623imtr4g 285 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) → [(𝑦𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
647, 8, 13, 21, 34, 63isfild 21863 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
659adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
66 unfi 8392 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) → (𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) ∈ Fin)
67 ssun2 3920 . . . . . . . . 9 𝑋 ⊆ (𝑥𝑋)
68 undif2 4188 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) = (𝑥𝑋)
6967, 68sseqtr4i 3779 . . . . . . . 8 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋𝑥))
70 ssfi 8345 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) ∈ Fin ∧ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋𝑥))) → 𝑋 ∈ Fin)
7166, 69, 70sylancl 697 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
7265, 71nsyl 135 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
73 ianor 510 . . . . . 6 (¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
7472, 73sylib 208 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
75 elpwi 4312 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
7675adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥𝑋)
776baib 982 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
7876, 77syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
791eleq2i 2831 . . . . . . 7 ((𝑋𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
80 difss 3880 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
81 elpw2g 4976 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
8281adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
8380, 82mpbiri 248 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
84 eldif 3725 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8584baib 982 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8683, 85syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8779, 86syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝐹 ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8878, 87orbi12d 748 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin)))
8974, 88mpbird 247 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
9089ralrimiva 3104 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
91 isufil 21908 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)))
9264, 90, 91sylanbrc 701 . 2 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
93 snfi 8203 . . . . 5 {𝑥} ∈ Fin
94 eldifn 3876 . . . . . 6 ({𝑥} ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
9594, 1eleq2s 2857 . . . . 5 ({𝑥} ∈ 𝐹 → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
9693, 95mt2 191 . . . 4 ¬ {𝑥} ∈ 𝐹
97 uffixsn 21930 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
9892, 97sylan 489 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
9998ex 449 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥 𝐹 → {𝑥} ∈ 𝐹))
10096, 99mtoi 190 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑥 𝐹)
101100eq0rdv 4122 . 2 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 = ∅)
10292, 101jca 555 1 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  [wsbc 3576  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   cint 4627  cfv 6049  Fincfn 8121  FinIacfin1a 9292  Filcfil 21850  UFilcufil 21904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125  df-fin1a 9299  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-fil 21851  df-ufil 21906
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