MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1aufil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1aufil 21646
Description: There are no definable free ultrafilters in ZFC. However, there are free ultrafilters in some choice-denying constructions. Here we show that given an amorphous set (a.k.a. a Ia-finite I-infinite set) 𝑋, the set of infinite subsets of 𝑋 is a free ultrafilter on 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1aufil.1 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
Assertion
Ref Expression
fin1aufil (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹 = ∅))

Proof of Theorem fin1aufil
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1aufil.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝒫 𝑋 ∖ Fin)
21eleq2i 2690 . . . . . 6 (𝑥𝐹𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
3 eldif 3565 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
4 selpw 4137 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
54anbi1i 730 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
62, 3, 53bitri 286 . . . . 5 (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
76a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin)))
8 elex 3198 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ V)
9 eldifn 3711 . . . . 5 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
10 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑋 ∈ Fin))
1110notbid 308 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
1211sbcieg 3450 . . . . 5 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ([𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑋 ∈ Fin))
139, 12mpbird 247 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → [𝑋 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
14 0fin 8132 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
15 0ex 4750 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
16 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
1716notbid 308 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin))
1815, 17sbcie 3452 . . . . . . 7 ([∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∅ ∈ Fin)
1918con2bii 347 . . . . . 6 (∅ ∈ Fin ↔ ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
2014, 19mpbi 220 . . . . 5 ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin
2120a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ [∅ / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin)
22 ssfi 8124 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
2322expcom 451 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
24233ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → (𝑦 ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
2524con3d 148 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → (¬ 𝑧 ∈ Fin → ¬ 𝑦 ∈ Fin))
26 vex 3189 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
27 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑧 ∈ Fin))
2827notbid 308 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
2926, 28sbcie 3452 . . . . 5 ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑧 ∈ Fin)
30 vex 3189 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
31 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑦 ∈ Fin))
3231notbid 308 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin))
3330, 32sbcie 3452 . . . . 5 ([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑦 ∈ Fin)
3425, 29, 333imtr4g 285 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑦) → ([𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin → [𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
35 eldifi 3710 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝑋 ∈ FinIa)
36 fin1ai 9059 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ FinIa𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
3735, 36sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
38373adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin))
39 inundif 4018 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) = 𝑧
40 incom 3783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑦) = (𝑦𝑧)
41 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑦𝑧) ∈ Fin)
4240, 41syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
43 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑋𝑦) ∈ Fin)
44 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧𝑋)
4544ssdifd 3724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ⊆ (𝑋𝑦))
46 ssfi 8124 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧𝑦) ⊆ (𝑋𝑦)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
4743, 45, 46syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → (𝑧𝑦) ∈ Fin)
48 unfi 8171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝑦) ∈ Fin ∧ (𝑧𝑦) ∈ Fin) → ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) ∈ Fin)
4942, 47, 48syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → ((𝑧𝑦) ∪ (𝑧𝑦)) ∈ Fin)
5039, 49syl5eqelr 2703 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ Fin ∧ (𝑋𝑦) ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
5150expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦𝑧) ∈ Fin) → ((𝑋𝑦) ∈ Fin → 𝑧 ∈ Fin))
5251orim2d 884 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ (𝑦𝑧) ∈ Fin) → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
5352ex 450 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑦𝑧) ∈ Fin → ((𝑦 ∈ Fin ∨ (𝑋𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))))
5438, 53mpid 44 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → ((𝑦𝑧) ∈ Fin → (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin)))
5554con3d 148 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) → ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
5633, 29anbi12i 732 . . . . . 6 (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
57 ioran 511 . . . . . 6 (¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ Fin))
5856, 57bitr4i 267 . . . . 5 (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) ↔ ¬ (𝑦 ∈ Fin ∨ 𝑧 ∈ Fin))
5930inex1 4759 . . . . . 6 (𝑦𝑧) ∈ V
60 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ Fin ↔ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
6160notbid 308 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin))
6259, 61sbcie 3452 . . . . 5 ([(𝑦𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ (𝑦𝑧) ∈ Fin)
6355, 58, 623imtr4g 285 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (([𝑦 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin ∧ [𝑧 / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin) → [(𝑦𝑧) / 𝑥] ¬ 𝑥 ∈ Fin))
647, 8, 13, 21, 34, 63isfild 21572 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
659adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
66 unfi 8171 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) → (𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) ∈ Fin)
67 ssun2 3755 . . . . . . . . 9 𝑋 ⊆ (𝑥𝑋)
68 undif2 4016 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) = (𝑥𝑋)
6967, 68sseqtr4i 3617 . . . . . . . 8 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋𝑥))
70 ssfi 8124 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∪ (𝑋𝑥)) ∈ Fin ∧ 𝑋 ⊆ (𝑥 ∪ (𝑋𝑥))) → 𝑋 ∈ Fin)
7166, 69, 70sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
7265, 71nsyl 135 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
73 ianor 509 . . . . . 6 (¬ (𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑋𝑥) ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
7472, 73sylib 208 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
75 elpwi 4140 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
7675adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥𝑋)
776baib 943 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
7876, 77syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ↔ ¬ 𝑥 ∈ Fin))
791eleq2i 2690 . . . . . . 7 ((𝑋𝑥) ∈ 𝐹 ↔ (𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin))
80 difss 3715 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
81 elpw2g 4787 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
8281adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
8380, 82mpbiri 248 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
84 eldif 3565 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8584baib 943 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8683, 85syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8779, 86syl5bb 272 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑋𝑥) ∈ 𝐹 ↔ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin))
8878, 87orbi12d 745 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ((𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹) ↔ (¬ 𝑥 ∈ Fin ∨ ¬ (𝑋𝑥) ∈ Fin)))
8974, 88mpbird 247 . . . 4 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
9089ralrimiva 2960 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹))
91 isufil 21617 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥𝐹 ∨ (𝑋𝑥) ∈ 𝐹)))
9264, 90, 91sylanbrc 697 . 2 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 ∈ (UFil‘𝑋))
93 snfi 7982 . . . . 5 {𝑥} ∈ Fin
94 eldifn 3711 . . . . . 6 ({𝑥} ∈ (𝒫 𝑋 ∖ Fin) → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
9594, 1eleq2s 2716 . . . . 5 ({𝑥} ∈ 𝐹 → ¬ {𝑥} ∈ Fin)
9693, 95mt2 191 . . . 4 ¬ {𝑥} ∈ 𝐹
97 uffixsn 21639 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
9892, 97sylan 488 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) ∧ 𝑥 𝐹) → {𝑥} ∈ 𝐹)
9998ex 450 . . . 4 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝑥 𝐹 → {𝑥} ∈ 𝐹))
10096, 99mtoi 190 . . 3 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → ¬ 𝑥 𝐹)
101100eq0rdv 3951 . 2 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → 𝐹 = ∅)
10292, 101jca 554 1 (𝑋 ∈ (FinIa ∖ Fin) → (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝐹 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  [wsbc 3417  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cint 4440  cfv 5847  Fincfn 7899  FinIacfin1a 9044  Filcfil 21559  UFilcufil 21613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903  df-fin1a 9051  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-fil 21560  df-ufil 21615
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator