MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem23 9095
Description: Lemma for fin23lem22 9096. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem23 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
Distinct variable group:   𝑖,𝑗,𝑆

Proof of Theorem fin23lem23
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem26 9094 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
2 ensym 7952 . . . . . 6 ((𝑎𝑆) ≈ 𝑖𝑖 ≈ (𝑎𝑆))
3 entr 7955 . . . . . 6 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖𝑖 ≈ (𝑎𝑆)) → (𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆))
42, 3sylan2 491 . . . . 5 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → (𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆))
5 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑆 ⊆ ω)
6 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑗𝑆)
75, 6sseldd 3585 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑗 ∈ ω)
8 nnfi 8100 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ω → 𝑗 ∈ Fin)
9 inss1 3813 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑆) ⊆ 𝑗
10 ssfi 8127 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ Fin ∧ (𝑗𝑆) ⊆ 𝑗) → (𝑗𝑆) ∈ Fin)
118, 9, 10sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ω → (𝑗𝑆) ∈ Fin)
127, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (𝑗𝑆) ∈ Fin)
13 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑎𝑆)
145, 13sseldd 3585 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑎 ∈ ω)
15 nnfi 8100 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ω → 𝑎 ∈ Fin)
16 inss1 3813 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎
17 ssfi 8127 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ Fin ∧ (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎) → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
1815, 16, 17sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ω → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
1914, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
20 nnord 7023 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ω → Ord 𝑗)
21 nnord 7023 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ω → Ord 𝑎)
22 ordtri2or2 5784 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝑗 ∧ Ord 𝑎) → (𝑗𝑎𝑎𝑗))
2320, 21, 22syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑗𝑎𝑎𝑗))
247, 14, 23syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (𝑗𝑎𝑎𝑗))
25 ssrin 3818 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑎 → (𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆))
26 ssrin 3818 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑗 → (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆))
2725, 26orim12i 538 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑎𝑎𝑗) → ((𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆) ∨ (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆)))
2824, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆) ∨ (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆)))
29 fin23lem25 9093 . . . . . . 7 (((𝑗𝑆) ∈ Fin ∧ (𝑎𝑆) ∈ Fin ∧ ((𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆) ∨ (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆))) → ((𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆) ↔ (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆)))
3012, 19, 28, 29syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆) ↔ (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆)))
31 ordom 7024 . . . . . . 7 Ord ω
32 fin23lem24 9091 . . . . . . 7 (((Ord ω ∧ 𝑆 ⊆ ω) ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) = (𝑎𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
3331, 32mpanl1 715 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) = (𝑎𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
3430, 33bitrd 268 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
354, 34syl5ib 234 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
3635ralrimivva 2965 . . 3 (𝑆 ⊆ ω → ∀𝑗𝑆𝑎𝑆 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
3736ad2antrr 761 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∀𝑗𝑆𝑎𝑆 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
38 ineq1 3787 . . . 4 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆))
3938breq1d 4625 . . 3 (𝑗 = 𝑎 → ((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖))
4039reu4 3383 . 2 (∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ ∀𝑗𝑆𝑎𝑆 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎)))
411, 37, 40sylanbrc 697 1 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  ∃!wreu 2909  cin 3555  wss 3556   class class class wbr 4615  Ord word 5683  ωcom 7015  cen 7899  Fincfn 7902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-br 4616  df-opab 4676  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-om 7016  df-1o 7508  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906
This theorem is referenced by:  fin23lem22  9096  fin23lem27  9097
  Copyright terms: Public domain W3C validator