MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin34 9159
Description: Every III-finite set is IV-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin34 (𝐴 ∈ FinIII𝐴 ∈ FinIV)

Proof of Theorem fin34
StepHypRef Expression
1 isfin3 9065 . . 3 (𝐴 ∈ FinIII ↔ 𝒫 𝐴 ∈ FinIV)
2 isfin4-2 9083 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → (𝒫 𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴))
32ibi 256 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝒫 𝐴)
4 reldom 7908 . . . . . . . 8 Rel ≼
54brrelex2i 5121 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
6 canth2g 8061 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
8 domsdomtr 8042 . . . . . 6 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ≺ 𝒫 𝐴) → ω ≺ 𝒫 𝐴)
97, 8mpdan 701 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → ω ≺ 𝒫 𝐴)
10 sdomdom 7930 . . . . 5 (ω ≺ 𝒫 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
119, 10syl 17 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ 𝒫 𝐴)
123, 11nsyl 135 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ FinIV → ¬ ω ≼ 𝐴)
131, 12sylbi 207 . 2 (𝐴 ∈ FinIII → ¬ ω ≼ 𝐴)
14 isfin4-2 9083 . 2 (𝐴 ∈ FinIII → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
1513, 14mpbird 247 1 (𝐴 ∈ FinIII𝐴 ∈ FinIV)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1987  Vcvv 3186  𝒫 cpw 4132   class class class wbr 4615  ωcom 7015  cdom 7900  csdm 7901  FinIVcfin4 9049  FinIIIcfin3 9050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fin4 9056  df-fin3 9057
This theorem is referenced by:  finngch  9424  fin2so  33049
  Copyright terms: Public domain W3C validator