Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin45 9158
 Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin45 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45
StepHypRef Expression
1 isfin4-3 9081 . . 3 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
2 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
3 relen 7904 . . . . . . . . . . . 12 Rel ≈
43brrelexi 5118 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
6 0sdomg 8033 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
82, 7mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
9 0sdom1dom 8102 . . . . . . . 8 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
108, 9sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 1𝑜𝐴)
11 cdadom2 8953 . . . . . . 7 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
13 domen2 8047 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
1413adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
1512, 14mpbird 247 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
16 domnsym 8030 . . . . 5 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1817con2i 134 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
191, 18sylbi 207 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
20 isfin5-2 9157 . 2 (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))
2119, 20mpbird 247 1 (𝐴 ∈ FinIV𝐴 ∈ FinV)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186  ∅c0 3891   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498   ≈ cen 7896   ≼ cdom 7897   ≺ csdm 7898   +𝑐 ccda 8933  FinIVcfin4 9046  FinVcfin5 9048 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-cda 8934  df-fin4 9053  df-fin5 9055 This theorem is referenced by:  fin2so  33028
 Copyright terms: Public domain W3C validator