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Theorem fin4en1 8991
Description: Dedekind finite is a cardinal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin4en1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))

Proof of Theorem fin4en1
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7868 . 2 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 bren 7827 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
3 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
4 f1of1 6034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
5 pssss 3663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
6 ssid 3586 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵𝐵
75, 6jctir 558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
8 f1imapss 6402 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝐵𝐵)) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
94, 7, 8syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
103, 9mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵))
11 imadmrn 5382 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 “ dom 𝑓) = ran 𝑓
12 f1odm 6039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = 𝐵)
1312imaeq2d 5372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓 “ dom 𝑓) = (𝑓𝐵))
14 dff1o5 6044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓:𝐵1-1𝐴 ∧ ran 𝑓 = 𝐴))
1514simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
1611, 13, 153eqtr3a 2667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝐵) = 𝐴)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝐵) = 𝐴)
1817psseq2d 3661 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → ((𝑓𝑥) ⊊ (𝑓𝐵) ↔ (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴))
1910, 18mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴)
2019adantrr 748 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ⊊ 𝐴)
21 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
2221f1imaen 7881 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
234, 5, 22syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
2423adantrr 748 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
25 simprr 791 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
26 entr 7871 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓𝑥) ≈ 𝑥𝑥𝐵) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐵)
2724, 25, 26syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐵)
28 vex 3175 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
29 f1oen3g 7834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴) → 𝐵𝐴)
3028, 29mpan 701 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝐵𝐴)
3130adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → 𝐵𝐴)
32 entr 7871 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑥) ≈ 𝐵𝐵𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐴)
3327, 31, 32syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → (𝑓𝑥) ≈ 𝐴)
34 fin4i 8980 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥) ⊊ 𝐴 ∧ (𝑓𝑥) ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3520, 33, 34syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵)) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV)
3635ex 448 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ((𝑥𝐵𝑥𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV))
3736exlimdv 1847 . . . . . 6 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ FinIV))
3837con2d 127 . . . . 5 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
3938exlimiv 1844 . . . 4 (∃𝑓 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
402, 39sylbi 205 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV → ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
41 relen 7823 . . . . 5 Rel ≈
4241brrelexi 5072 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
43 isfin4 8979 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
4442, 43syl 17 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑥𝐵)))
4540, 44sylibrd 247 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
461, 45syl 17 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ FinIV𝐵 ∈ FinIV))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  wpss 3540   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  ran crn 5029  cima 5031  1-1wf1 5787  1-1-ontowf1o 5789  cen 7815  FinIVcfin4 8962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-er 7606  df-en 7819  df-fin4 8969
This theorem is referenced by:  domfin4  8993  isfin4-3  8997
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