MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin56 9212
Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin56 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56
StepHypRef Expression
1 orc 400 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
2 sdom2en01 9121 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2𝑜 ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1𝑜))
31, 2sylibr 224 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2𝑜)
43orcd 407 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5 onfin2 8149 . . . . . . . 8 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 3832 . . . . . . . 8 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 3633 . . . . . . 7 ω ⊆ Fin
8 2onn 7717 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
97, 8sselii 3598 . . . . . 6 2𝑜 ∈ Fin
10 relsdom 7959 . . . . . . 7 Rel ≺
1110brrelexi 5156 . . . . . 6 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 fidomtri 8816 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
139, 11, 12sylancr 695 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
14 xp2cda 8999 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
17 xpdom2g 8053 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1811, 17sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1916, 18eqbrtrrd 4675 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
20 sdomdomtr 8090 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2119, 20syldan 487 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ 2𝑜𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2221ex 450 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (2𝑜𝐴𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2313, 22sylbird 250 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2423orrd 393 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
254, 24jaoi 394 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
26 isfin5 9118 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
27 isfin6 9119 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2825, 26, 273imtr4i 281 1 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198  cin 3571  c0 3913   class class class wbr 4651   × cxp 5110  Oncon0 5721  (class class class)co 6647  ωcom 7062  1𝑜c1o 7550  2𝑜c2o 7551  cen 7949  cdom 7950  csdm 7951  Fincfn 7952   +𝑐 ccda 8986  FinVcfin5 9101  FinVIcfin6 9102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1o 7557  df-2o 7558  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-fin5 9108  df-fin6 9109
This theorem is referenced by:  fin2so  33376
  Copyright terms: Public domain W3C validator