MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin56 9803
Description: Every V-finite set is VI-finite because multiplication dominates addition for cardinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin56 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)

Proof of Theorem fin56
StepHypRef Expression
1 orc 861 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
2 sdom2en01 9712 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2o ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≈ 1o))
31, 2sylibr 235 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 2o)
43orcd 869 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
5 onfin2 8698 . . . . . . . 8 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 4203 . . . . . . . 8 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 3998 . . . . . . 7 ω ⊆ Fin
8 2onn 8255 . . . . . . 7 2o ∈ ω
97, 8sselii 3961 . . . . . 6 2o ∈ Fin
10 relsdom 8504 . . . . . . 7 Rel ≺
1110brrelex1i 5601 . . . . . 6 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12 fidomtri 9410 . . . . . 6 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
139, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
14 xp2dju 9590 . . . . . . . 8 (2o × 𝐴) = (𝐴𝐴)
15 xpdom1g 8602 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1611, 15sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (2o × 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
1714, 16eqbrtrrid 5093 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 sdomdomtr 8638 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
1917, 18syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ∧ 2o𝐴) → 𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴))
2019ex 413 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (2o𝐴𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2113, 20sylbird 261 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (¬ 𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2221orrd 857 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
234, 22jaoi 851 . 2 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)) → (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
24 isfin5 9709 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)))
25 isfin6 9710 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2623, 24, 253imtr4i 293 1 (𝐴 ∈ FinV𝐴 ∈ FinVI)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cin 3932  c0 4288   class class class wbr 5057   × cxp 5546  Oncon0 6184  ωcom 7569  1oc1o 8084  2oc2o 8085  cen 8494  cdom 8495  csdm 8496  Fincfn 8497  cdju 9315  FinVcfin5 9692  FinVIcfin6 9693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-fin5 9699  df-fin6 9700
This theorem is referenced by:  fin2so  34760
  Copyright terms: Public domain W3C validator