Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin67 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin67 9177
 Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin67 (𝐴 ∈ FinVI𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin67
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin6 9082 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2 2onn 7680 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
3 ssid 3609 . . . . . 6 2𝑜 ⊆ 2𝑜
4 ssnnfi 8139 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ⊆ 2𝑜) → 2𝑜 ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 707 . . . . 5 2𝑜 ∈ Fin
6 sdomdom 7943 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≼ 2𝑜)
7 domfi 8141 . . . . 5 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 2𝑜) → 𝐴 ∈ Fin)
85, 6, 7sylancr 694 . . . 4 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ∈ Fin)
9 fin17 9176 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ∈ FinVII)
11 sdomnen 7944 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
12 eldifi 3716 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → 𝑏 ∈ On)
13 ensym 7965 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏𝑏𝐴)
14 isnumi 8732 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
1512, 13, 14syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ dom card)
16 vex 3193 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
17 eldif 3570 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
18 ordom 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 Ord ω
19 eloni 5702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
20 ordtri1 5725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord ω ∧ Ord 𝑏) → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2118, 19, 20sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ On → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2221biimpar 502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → ω ⊆ 𝑏)
2317, 22sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ⊆ 𝑏)
24 ssdomg 7961 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ V → (ω ⊆ 𝑏 → ω ≼ 𝑏))
2516, 23, 24mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝑏)
26 domen2 8063 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑏 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝑏))
2725, 26syl5ibr 236 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏 → (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝐴))
2827impcom 446 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → ω ≼ 𝐴)
29 infxpidm2 8800 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
3015, 28, 29syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
31 ensym 7965 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3332rexlimiva 3023 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3411, 33nsyl 135 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏)
35 relsdom 7922 . . . . . 6 Rel ≺
3635brrelexi 5128 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
37 isfin7 9083 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
3934, 38mpbird 247 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ FinVII)
4010, 39jaoi 394 . 2 ((𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ∈ FinVII)
411, 40sylbi 207 1 (𝐴 ∈ FinVI𝐴 ∈ FinVII)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2909  Vcvv 3190   ∖ cdif 3557   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4623   × cxp 5082  dom cdm 5084  Ord word 5691  Oncon0 5692  ωcom 7027  2𝑜c2o 7514   ≈ cen 7912   ≼ cdom 7913   ≺ csdm 7914  Fincfn 7915  cardccrd 8721  FinVIcfin6 9065  FinVIIcfin7 9066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-oi 8375  df-card 8725  df-fin6 9072  df-fin7 9073 This theorem is referenced by:  fin2so  33067
 Copyright terms: Public domain W3C validator