MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin67 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin67 9177
Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin67 (𝐴 ∈ FinVI𝐴 ∈ FinVII)

Proof of Theorem fin67
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin6 9082 . 2 (𝐴 ∈ FinVI ↔ (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)))
2 2onn 7680 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
3 ssid 3609 . . . . . 6 2𝑜 ⊆ 2𝑜
4 ssnnfi 8139 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ⊆ 2𝑜) → 2𝑜 ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 707 . . . . 5 2𝑜 ∈ Fin
6 sdomdom 7943 . . . . 5 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≼ 2𝑜)
7 domfi 8141 . . . . 5 ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 2𝑜) → 𝐴 ∈ Fin)
85, 6, 7sylancr 694 . . . 4 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ∈ Fin)
9 fin17 9176 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ FinVII)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ∈ FinVII)
11 sdomnen 7944 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
12 eldifi 3716 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → 𝑏 ∈ On)
13 ensym 7965 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏𝑏𝐴)
14 isnumi 8732 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
1512, 13, 14syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ dom card)
16 vex 3193 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
17 eldif 3570 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) ↔ (𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω))
18 ordom 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 Ord ω
19 eloni 5702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ On → Ord 𝑏)
20 ordtri1 5725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord ω ∧ Ord 𝑏) → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2118, 19, 20sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ On → (ω ⊆ 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ∈ ω))
2221biimpar 502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ On ∧ ¬ 𝑏 ∈ ω) → ω ⊆ 𝑏)
2317, 22sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ⊆ 𝑏)
24 ssdomg 7961 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ V → (ω ⊆ 𝑏 → ω ≼ 𝑏))
2516, 23, 24mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝑏)
26 domen2 8063 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑏 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝑏))
2725, 26syl5ibr 236 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑏 → (𝑏 ∈ (On ∖ ω) → ω ≼ 𝐴))
2827impcom 446 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → ω ≼ 𝐴)
29 infxpidm2 8800 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
3015, 28, 29syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
31 ensym 7965 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (On ∖ ω) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3332rexlimiva 3023 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏𝐴 ≈ (𝐴 × 𝐴))
3411, 33nsyl 135 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏)
35 relsdom 7922 . . . . . 6 Rel ≺
3635brrelexi 5128 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
37 isfin7 9083 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
3836, 37syl 17 . . . 4 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 ∈ FinVII ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (On ∖ ω)𝐴𝑏))
3934, 38mpbird 247 . . 3 (𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴) → 𝐴 ∈ FinVII)
4010, 39jaoi 394 . 2 ((𝐴 ≺ 2𝑜𝐴 ≺ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ∈ FinVII)
411, 40sylbi 207 1 (𝐴 ∈ FinVI𝐴 ∈ FinVII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  wcel 1987  wrex 2909  Vcvv 3190  cdif 3557  wss 3560   class class class wbr 4623   × cxp 5082  dom cdm 5084  Ord word 5691  Oncon0 5692  ωcom 7027  2𝑜c2o 7514  cen 7912  cdom 7913  csdm 7914  Fincfn 7915  cardccrd 8721  FinVIcfin6 9065  FinVIIcfin7 9066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-oi 8375  df-card 8725  df-fin6 9072  df-fin7 9073
This theorem is referenced by:  fin2so  33067
  Copyright terms: Public domain W3C validator