MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  findcard2s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem findcard2s 8368
Description: Variation of findcard2 8367 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2s.1 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
findcard2s.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
findcard2s.3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑𝜃))
findcard2s.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
findcard2s.5 𝜓
findcard2s.6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
findcard2s (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2s
StepHypRef Expression
1 findcard2s.1 . 2 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
2 findcard2s.2 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
3 findcard2s.3 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑𝜃))
4 findcard2s.4 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
5 findcard2s.5 . 2 𝜓
6 findcard2s.6 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝜒𝜃))
76ex 449 . . 3 (𝑦 ∈ Fin → (¬ 𝑧𝑦 → (𝜒𝜃)))
8 uncom 3900 . . . . . . 7 ({𝑧} ∪ 𝑦) = (𝑦 ∪ {𝑧})
9 snssi 4484 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 → {𝑧} ⊆ 𝑦)
10 ssequn1 3926 . . . . . . . 8 ({𝑧} ⊆ 𝑦 ↔ ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
119, 10sylib 208 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 → ({𝑧} ∪ 𝑦) = 𝑦)
128, 11syl5reqr 2809 . . . . . 6 (𝑧𝑦𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}))
13 vex 3343 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1413eqvinc 3469 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝑦𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
1512, 14sylib 208 . . . . 5 (𝑧𝑦 → ∃𝑥(𝑥 = 𝑦𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})))
162bicomd 213 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝜒𝜑))
1716, 3sylan9bb 738 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑦𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒𝜃))
1817exlimiv 2007 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥 = 𝑦𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧})) → (𝜒𝜃))
1915, 18syl 17 . . . 4 (𝑧𝑦 → (𝜒𝜃))
2019biimpd 219 . . 3 (𝑧𝑦 → (𝜒𝜃))
217, 20pm2.61d2 172 . 2 (𝑦 ∈ Fin → (𝜒𝜃))
221, 2, 3, 4, 5, 21findcard2 8367 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  cun 3713  wss 3715  c0 4058  {csn 4321  Fincfn 8123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127
This theorem is referenced by:  findcard2d  8369  ac6sfi  8371  domunfican  8400  fodomfi  8406  hashxplem  13432  hashmap  13434  hashbc  13449  hashf1lem2  13452  hashf1  13453  fsum2d  14721  fsumabs  14752  fsumrlim  14762  fsumo1  14763  fsumiun  14772  incexclem  14787  fprod2d  14930  coprmprod  15597  coprmproddvds  15599  gsum2dlem2  18590  ablfac1eulem  18691  mplcoe1  19687  mplcoe5  19690  coe1fzgsumd  19894  evl1gsumd  19943  mdetunilem9  20648  ptcmpfi  21838  tmdgsum  22120  fsumcn  22894  ovolfiniun  23489  volfiniun  23535  itgfsum  23812  dvmptfsum  23957  jensen  24935  gsumle  30109  gsumvsca1  30112  gsumvsca2  30113  finixpnum  33725  matunitlindflem1  33736  pwslnm  38184  fnchoice  39705  dvmptfprod  40681
  Copyright terms: Public domain W3C validator