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Theorem finminlem 31989
Description: A useful lemma about finite sets. If a property holds for a finite set, it holds for a minimal set. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Dec-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
finminlem.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
finminlem (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem finminlem
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 2024 . . . . 5 𝑥𝑥(𝑥𝑛𝜑)
2 nfcv 2761 . . . . 5 𝑥ω
31, 2nfrab 3115 . . . 4 𝑥{𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)}
4 nfcv 2761 . . . 4 𝑥
53, 4nfne 2890 . . 3 𝑥{𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅
6 isfi 7931 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚)
7 19.8a 2049 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑚𝜑) → ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑))
87anim2i 592 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
983impb 1257 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
10 breq2 4622 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑥𝑚))
1110anbi1d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑥𝑛𝜑) ↔ (𝑥𝑚𝜑)))
1211exbidv 1847 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑥(𝑥𝑛𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
1312elrab 3350 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)))
149, 13sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → 𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)})
15 ne0i 3902 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚𝜑) → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
17163exp 1261 . . . . 5 (𝑚 ∈ ω → (𝑥𝑚 → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)))
1817rexlimiv 3021 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚 → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅))
196, 18sylbi 207 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → (𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅))
205, 19rexlimi 3018 . 2 (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅)
21 epweon 6937 . . 3 E We On
22 ssrab2 3671 . . . 4 {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ ω
23 omsson 7023 . . . 4 ω ⊆ On
2422, 23sstri 3596 . . 3 {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ On
25 wefrc 5073 . . 3 (( E We On ∧ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ⊆ On ∧ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
2621, 24, 25mp3an12 1411 . 2 ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
27 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑥 𝑚 ∈ ω
28 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚
293, 28nfin 3803 . . . . . . . 8 𝑥({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚)
3029nfeq1 2774 . . . . . . 7 𝑥({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅
3127, 30nfan 1825 . . . . . 6 𝑥(𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅)
32 simprr 795 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → 𝜑)
33 sspss 3689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑥 ↔ (𝑦𝑥𝑦 = 𝑥))
34 rspe 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚)
35 pssss 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝑥𝑦𝑥)
36 ssfi 8132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
3735, 36sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
3837ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ Fin → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
396, 38sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑚 ∈ ω 𝑥𝑚 → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4034, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4140adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
4241adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑦 ∈ Fin))
43 isfi 7931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑦𝑘)
44 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘 ∈ ω)
45 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑦𝑘)
46 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝜓)
47 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑦 ∈ V
48 breq1 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑘𝑦𝑘))
49 finminlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
5048, 49anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑘𝜑) ↔ (𝑦𝑘𝜓)))
5147, 50spcev 3289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦𝑘𝜓) → ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑))
5245, 46, 51syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑))
5334, 6sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥𝑚) → 𝑥 ∈ Fin)
5453adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → 𝑥 ∈ Fin)
5554adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → 𝑥 ∈ Fin)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → 𝑥 ∈ Fin)
57 php3 8098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
5857ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ Fin → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
60 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑘 ∈ V
61 ssdomg 7953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ V → (𝑚𝑘𝑚𝑘))
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚𝑘𝑚𝑘)
63 endomtr 7966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝑚𝑚𝑘) → 𝑥𝑘)
6463ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥𝑚 → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
6564ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
6665ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑘))
67 ensym 7957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦𝑘𝑘𝑦)
68 domentr 7967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝑘𝑘𝑦) → 𝑥𝑦)
6967, 68sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥𝑘𝑦𝑘) → 𝑥𝑦)
7069expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦𝑘 → (𝑥𝑘𝑥𝑦))
7170ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑥𝑘𝑥𝑦))
7266, 71syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑦))
7362, 72syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑚𝑘𝑥𝑦))
74 domnsym 8038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥𝑦 → ¬ 𝑦𝑥)
7574con2i 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑦)
7673, 75nsyli 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥 → ¬ 𝑚𝑘))
7759, 76syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘)) → (𝑦𝑥 → ¬ 𝑚𝑘))
7877impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ¬ 𝑚𝑘)
79 nnord 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
8079ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → Ord 𝑚)
81 nnord 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) → Ord 𝑘)
8382ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → Ord 𝑘)
84 ordtri1 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((Ord 𝑚 ∧ Ord 𝑘) → (𝑚𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑚))
8584con2bid 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Ord 𝑚 ∧ Ord 𝑘) → (𝑘𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑘))
8680, 83, 85syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → (𝑘𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑘))
8778, 86mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘𝑚)
8844, 52, 87jca31 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
89 elin 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ↔ (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∧ 𝑘𝑚))
90 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛𝑥𝑘))
9190anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥𝑛𝜑) ↔ (𝑥𝑘𝜑)))
9291exbidv 1847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 𝑘 → (∃𝑥(𝑥𝑛𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)))
9392elrab 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)))
9493anbi1i 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑘 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∧ 𝑘𝑚) ↔ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
9589, 94bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ↔ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑘𝜑)) ∧ 𝑘𝑚))
9688, 95sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚))
97 ne0i 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦𝑘) ∧ 𝑦𝑥)) → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)
9998exp44 640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑘 ∈ ω → (𝑦𝑘 → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅))))
10099rexlimdv 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑦𝑘 → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
10143, 100syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
102101com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥 → (𝑦 ∈ Fin → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅)))
10342, 102mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥 → ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) ≠ ∅))
104103necon2bd 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ¬ 𝑦𝑥))
105104ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ω → (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ¬ 𝑦𝑥)))
106105com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ω → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → (((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)))
107106imp31 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → ¬ 𝑦𝑥)
108107pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦))
109 equcomi 1941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
111108, 110jaod 395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → ((𝑦𝑥𝑦 = 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
11233, 111syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ ((𝑥𝑚𝜑) ∧ 𝜓)) → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦))
113112expr 642 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝜓 → (𝑦𝑥𝑥 = 𝑦)))
114113com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝑦𝑥 → (𝜓𝑥 = 𝑦)))
115114impd 447 . . . . . . . . 9 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → ((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))
116115alrimiv 1852 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))
11732, 116jca 554 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) ∧ (𝑥𝑚𝜑)) → (𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
118117ex 450 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) → ((𝑥𝑚𝜑) → (𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
11931, 118eximd 2083 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅) → (∃𝑥(𝑥𝑚𝜑) → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
120119impancom 456 . . . 4 ((𝑚 ∈ ω ∧ ∃𝑥(𝑥𝑚𝜑)) → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
12113, 120sylbi 207 . . 3 (𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} → (({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦))))
122121rexlimiv 3021 . 2 (∃𝑚 ∈ {𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ({𝑛 ∈ ω ∣ ∃𝑥(𝑥𝑛𝜑)} ∩ 𝑚) = ∅ → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
12320, 26, 1223syl 18 1 (∃𝑥 ∈ Fin 𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑦((𝑦𝑥𝜓) → 𝑥 = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189  cin 3558  wss 3559  wpss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618   E cep 4988   We wwe 5037  Ord word 5686  Oncon0 5687  ωcom 7019  cen 7904  cdom 7905  csdm 7906  Fincfn 7907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911
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