Theorem finresfin 8738

Description: The restriction of a finite set is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
finresfin	⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem finresfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resss 5872	. 2 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐸
2		ssfi 8732	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ (𝐸 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935   ↾ cres 5551  Fincfn 8503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-om 7575  df-er 8283  df-en 8504  df-fin 8507

This theorem is referenced by:  fidomdm  8795  hashres  13793  vtxdginducedm1fi  27320  finsumvtxdg2ssteplem4  27324  finsumvtxdg2sstep  27325